수학 기록지

이번 시간에는 수학적 귀납법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 수학적 귀납법은 많은 사람들이 고등학교때부터 마치 공리인 것처럼 받아들이고 있지만, 실제로는 공리가 아닌 증명이 필요한 정리입니다. 정리 내용은 다음과 같습니다.: Thm (Mathematical Induction) Let $P(n)$ be a statement for $n\in\mathbb{N}$. If 1) $P(1)$ is true, and 2) $P(k)$ is true $\Rightarrow P(k+1)$ is true, then $P(n)$ is true for all $n\in\mathbb{N}$. 수학적 귀납법은 자연수에 대한 명제가 주어져 있을 때, 해당 명제가 모든 자연수에 대해서 성립하는 것을 확인하고 싶을 때 쓰는 정리입니..

저에게 있어 해석학은 정말 애증의 대상 그 자체였습니다. 해석학을 처음 배웠던 것이 대학교 2학년 무렵이었는데, 그 때만 해도 수학에 대한 감은 전혀 없는채로 전공수학의 맛을 봐야만 했습니다. 나름 공부는 열심히 하던 학생이었기에 계속 그렇게만 하면 되는 것이라 착각하며 살아갔었는데, 해석학 또한 예외는 아니었습니다. 그 당시 해석학 교수님이 문제를 내는 스타일은 책을 통째로 외우면 점수가 높게 나오는 것이었기에, 이해가 전혀 수반되지 않은 채로 무지성으로 외워서 점수를 만들었던 기억이 있습니다. 이후 학부 기간동안엔 해석학이 나오기만 하면 도망다녔고, 대학원에 가서도 해석학 때문에 너무나 많은 고생을 했었습니다. 즉, 그저 증오의 대상이었을 뿐이었습니다. 한편, 대수학을 전공하면서, 다소 비대칭적이지만..

유튜브 수학의 즐거움 채널에서 진행하는 기초 대수기하 스터디에 참여하면서 필요한 내용을 공부한 것들을 기록하는데 그 목적이 있다. 디테일을 채우는 기준은 최소한 전체적인 흐름을 놓치지 않는 선이고, 가능한 한 제 자신을 완전히 설득하는데 집중하고자 한다. 수학 전공내용의 상당 부분의 디테일을 잊어먹고 있는 상황이라, 리뷰를 하는 차원에서 디테일을 채워나갈 듯 하다. 이렇게 현재 시점에서 놓치고 있는 디테일들을 이번 대수기하 스터디를 통해서 채울 수 있다고 생각하니 벌써부터 흥미롭다. 기초 대수기하 스터디에서는 이미 녹화되어 있는 복소대수기하 스터디 영상을 공부하는 일이 많을 듯 한데, 이는 해당 채널의 유료 멤버십 멤버들에게만 제공되는 내용이므로 링크를 따로 달지는 않고 (채널지기님의 허락을 받아) 공부..

목차 시작하면서... Limit Definition of limit Step 1 Step 2 Universal property of limit Colimit Definition of colimit Universal property of colimit Examples Product and Coproduct Initial and Terminal object Kernel and Cokernel Right adjoint is continuous Definition of continuous and cocontinuous Observation Proof Example 마무리 시작하면서... 대수기하를 하는데 필요한 category theory의 마지막 concept으로써 limit과 colimit에 대해 알아보도록..

목차 시작하면서... Product Definition Representability and Universal property Terminal object Coproduct Definition Representability and Universal property Initial object Examples Category of abelian groups Category of topological spaces 마무리 시작하면서... 이번 posting에서는 product와 coproduct에 대해서 다뤄본다. 이는 앞으로 다룰 limit과 colimit의 special case가 된다. Product Definition Index set $I$와 category $\mathcal{C}$가 주어졌다고 하자...

목차 시작하면서... Product category, Bifunctor Product category Bifunctor Adjoint pair Definition Remark Examples free functor tensor functor and hom functor scalar extension and restriction localization group ring and G-module 마무리 시작하면서... 이번 포스팅에서는 대수 공부할 때 알게모르게 쓰였던 adjoint pair에 관하여 다뤄보고자 한다. Product category, Bifunctor Product category 두 category $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$이 주어졌다고 하자. $\mathcal{..

목차 시작하면서... Representable functor 정의 Examples Tensor product Product of sets 마무리 시작하면서... 지난 포스팅에서는 Yoneda lemma를 다루며 hom functor가 생각보다 꽤 중추적인 역할을 하고 있음을 알았다. 어떤 의미에서는 우리가 구체적으로 아는, 나름 general하면서도 구체적으로 아는(이 말이 모순인가? ㅎㅎ) functor는 hom functor 뿐인 것 같다. 그래서 주어진 functor가 hom functor와 naturally isomorphic 한지를 보아 해당 functor를 이해하려는 노력을 하는데, 여기서부터 representation of a functor가 등장한다. Representable functor..

목차 시작하면서... Category of presheaves 정의 Yoneda embedding 정의 Yoneda lemma Yoneda lemma 의미 Yoneda lemma 증명 Corollary 1 Corollary 2 마무리 시작하면서... 이번 포스팅에서는 yoneda lemma와 이에 관련한 corollary 몇가지를 살펴보고자 한다. yoneda lemma 및 yoneda embedding이 어떤 의미가 있는지에 대해 나의 생각을 적어놓고자 한다. Category of presheaves 정의 $\mathcal{C}$를 category라고 하자. 이 때 $$\mathcal{C}^{\wedge}:=Fct(\mathcal{C}^{op},\mathtt{SETS})$$ 를 the category ..

목차 시작하면서... Category of functors 정의 Equivalence of categories 정의 Theorem Examples 마무리 시작하면서... 이후 Yoneda lemma를 비롯한 좀 더 많은 내용을 다루기 위해서는 equivalence of categories의 개념을 알아야 한다. 점점 추상화가 고도화되는데, 중간에 길을 잃지 않도록 계속해서 신경을 써야할 것 같다. Category of functors 정의 두 개의 category 사이의 functor는 결코 하나가 아니다. 이러한 functor들을 다루기 위해서는 해당 functor들이 사는 category를 생각하는 것이 자연스러워 보인다. $\mathcal{C}$와 $\mathcal{D}$가 category라고 하자..

목차 시작하면서... Natural transformation 정의 Examples 마무리 시작하면서... 드디어 natural transformation에 대해 다룰 시간이 왔다. 정의가 다소 복잡하여 처음에는 이해하기 어려웠으나, 사실 지금도 이해했다고 하면 과장된 것 같지만, 어쨌든 내 나름의 방식대로 이해를 해보았다. 지나고 보면 알고 난 후에는 별게 아닐지라도, 이러한 과정들이 굉장히 값진 과정이라는걸 알기에 기록으로 남겨둔다. 보통 natural transformation을 확인하는 것은 막상 쓰기에는 꽤 귀찮은 작업이어서 책의 저자들은 대부분 이를 생략한다. 본 포스팅에서는 좀 귀찮긴 하지만 기록용이니까 풀이를 가능한 한 감추지 않으려고 한다. Natural transformation 정의 ..