[Category] 8. Product and Coproduct

목차

• 시작하면서...
• Product
  • Definition
  • Representability and Universal property
  • Terminal object
    
    
• Coproduct
  • Definition
  • Representability and Universal property
  • Initial object
    
    
• Examples
  • Category of abelian groups
  • Category of topological spaces
    
    
• 마무리

    

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시작하면서...

이번 posting에서는 product와 coproduct에 대해서 다뤄본다. 이는 앞으로 다룰 limit과 colimit의 special case가 된다.

 

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Product

Definition

Index set $I$와 category $\mathcal{C}$가 주어졌다고 하자. 이 때 $\mathcal{C}$의 objects의 collection $\{X_i\}_{i\in I}$에 대하여 product라는 것은, 아래의 commutative diagram을 만족시키는 collection of morphisms $\{\pi_i:X\longrightarrow X_i\}_{i\in I}$를 갖고 있는 object $X$이다. 

임의의 collection of morphisms $\{f_i:Y\longrightarrow X_i\}_{i\in I}$가 주어질 때마다 unique morphism $f:Y\longrightarrow X$가 있어서 아래의 commutative diagram을 만족시킨다.

이 때 주의할 점은 $f$는 indexing $i\in I$마다 있는게 아니라 collection of morphisms마다 유니크하게 있다는 것이다.

 

기호로는 $$\bigg(\prod_{i\in I}X_i,(\pi:\prod_{i\in I}X_i\longrightarrow X_i)\bigg)$$로 쓴다.

 

 

Representablity and Universal property

product를 정의할 때 사용한 $\pi$는 어떤 morphism일까? 이 관찰을 위해 이전 포스팅에서 예로 다뤘던 것처럼 다음의 contravariant functor $F:\mathcal{C}^{op}\longrightarrow\mathtt{SETS}$가 representable하다는 사실을 먼저 체크하자.

$$ X\mapsto\prod_{i\in I}Hom_{\mathtt{SETS}}(X,X_i) $$

즉, 아래의 natural bijection을 얻는다.

$$ Hom_{\mathcal{C}}(Y,\prod_{i\in I}X_i)\cong \prod_{i\in I} Hom_{\mathcal{C}}(Y,X_i) $$

which is natural in $Y.$

 

위에 링킹한 이전 포스팅에서 한 것처럼 natural isomorphism을 정의해주고 실제로 natural isomorphism임을 보이면 똑같이 증명이 되는데, 이 때 product의 universal property가 쓰였다는 점에 주목하자. 즉, 임의의 collection of morphisms $(f_i:Y\longrightarrow X_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}Hom_{\mathcal{C}}(Y,X_i)$는 canonical morphisms $(\pi:\prod_{i\in I}\longrightarrow X_i)$로부터 모두 얻어질 수 있음을 뜻한다.

 

 

Terminal object

product는 terminal object이다. category $\mathcal{C}$에서 $T\in\mathcal{C}$가 주어졌을 때, 임의의 object $X\in\mathcal{C}$마다 오직 하나의 morphism $X\longrightarrow T$만이 존재하면 $T$를 terminal object라고 부른다. $\{X_i\}_{i\in I}$의 product는 limit의 한 종류이고, limit이 category of cones에서 terminal object이기 때문에 product도 어떤 의미에서는 terminal이라 할 수 있다. 정확한 얘기를 하기 위해서는 limit에 대한 관찰이 필요하므로 우선은 이정도만 얘기하고 넘어간다.

 

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Coproduct

Definition

내친김에 coproduct도 함께 살펴보도록 하자. category에서 co가 붙으면 기존의 개념에서 화살표를 반대로 뒤집으면 된다.

 

Index set $I$와 category $\mathcal{C}$가 주어져 있다고 하자. Collection of objects $\{X_i\}_{i\in I}$의 coproduct라는 것은 object $X$ together with a collection of morphisms $\{\iota_i:X_i\longrightarrow X\}$가 다음을 만족할 때이다. 

임의의 collection of morphisms $\{g_i:X_i\longrightarrow Y\}_{i\in I}$가 주어질 때마다 unique morphism $g:X\longrightarrow Y$가 있어서 다음의 commutative diagram을 만족시킨다.

이 때의 $X$는 $\coprod_{i\in I}X_i$ 혹은 $\oplus_{i\in I}X_i$로 표기한다.

 

 

Representablity and Universal property

product와 거의 비슷하게 전개할 수 있으므로 자세한 언급은 생략한다.

 

 

Initial object

coproduct 역시 colimit의 한 종류이다. 이 역시 자세한 얘기는 colimit을 다룬 후 보는 게 좋을 듯 하다.

 

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Examples

Category of abelian groups

category of abelian groups를 $\mathtt{AB}$라고 하자. $\mathtt{AB}$의 collection of abelian groups $\{A_i\}_{i\in I}$에 대하여 product와 coproduct는 각각 무엇일까?

 

$\{A_i\}_{i\in I}$의 catesian product $\prod_{i\in I}A_i$위에 component-wise operation을 정의해주면 자연스럽게 abelian group이 된다. 이 abelian group은 각 $i\in I$마다 $i$-th projection $\pi_i:\prod_{i\in I}A_i\longrightarrow A_i$을 갖고 있다. $\bigg(\prod_{i\in I}A_i, (\pi_i:\prod_{i\in I}A_i\longrightarrow A_i)\bigg)$은 실제로 product가 갖는 universal property를 만족시키므로 이는 $\mathtt{AB}$에서의 categorical product이다.

 

$\{A_i\}_{i\in I}$의 coproduct는 $\{A_i\}_{i\in I}$의 direct sum $\oplus_{i\in I}A_i$이다. (canonical embedding을 같이 고려해주어야 한다.)

 

특별히 $I$가 finite인 경우 $\prod A_i\cong\oplus A_i$가 되는데, 이는 category의 언어로는 $\mathtt{AB}$가 additive category이기 때문이라고 한다. 잘 모르는 내용이므로 기록만 해둔다.

 

 

Category of topological spaces

category of topological spaces를 $\mathtt{TOP}$라 하자. collection of topological spaces $\{X_i\}_{i\in I}$의 product는 무엇일까?

 

우선 underlying set은 catesian product로 주는게 편해 보인다. 이 위에 product topology를 주면 categorical product가 되는 것을 알 수 있다. 주의할 점은 box topology를 주면 categorical product는 되지 못한다는 것이다. 

 

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마무리

limit, colimit을 다루기에 앞서 따로 다루는게 좋을 듯 하여 이렇게 포스팅 하였다. 어서 기본적인 category를 마치고 다시 대수기하를 시작해야겠다.