[Category] 9. Limit and Colimit

목차

• 시작하면서...
• Limit
  • Definition of limit
    • Step 1
    • Step 2
      
      
  • Universal property of limit
    
    
• Colimit
  • Definition of colimit
  • Universal property of colimit
    
    
• Examples
  • Product and Coproduct
  • Initial and Terminal object
  • Kernel and Cokernel
    
    
• Right adjoint is continuous
  • Definition of continuous and cocontinuous
  • Observation
  • Proof
  • Example
    
    
• 마무리

 

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시작하면서...

대수기하를 하는데 필요한 category theory의 마지막 concept으로써 limit과 colimit에 대해 알아보도록 한다. 지금까지 다룬 내용 말고도 더 필요하겠지만 그건 공부하면서 채워나가려고 한다.

 

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Limit

Definition of limit

$S\in\mathtt{SETS}$를 discrete category로 보고, $I$를 small category($Mor(I)$가 set인 것)라고 하자. 이 때 covariant functor $\alpha:I\longrightarrow\mathcal{C}$를 inductive system, contravariant functor $\beta:I^{op}\longrightarrow\mathcal{C}$를 projective system이라고 부른다. 지금부터 $\beta$의 limit과 $\alpha$의 colimit을 각각 정의하고자 한다. 여기서는 limit의 정의만 살펴보자.

 

Step 1

우선 $\mathcal{C}=\mathtt{SETS}$라고 하자. 이 때 $S$의 임의의 morphism $s:i\longrightarrow j$에 대하여 $\beta(s):X_j\longrightarrow X_i$임을 상기하고 limit의 정의를 보면 다음과 같다.

$$ \lim_{\longleftarrow}\beta:=\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i\::\:\beta(s)x_j=x_i\text{ for all } s:i\longrightarrow j\} $$

 

이렇게 정의한 것만 보면 뭘 정의한건지 와닿지가 않는다. 아래의 statement는 set version의 limit의 universal property이다. 

$$ Hom_{\mathtt{SETS}}(X, \lim_{\longleftarrow}\beta)\cong\lim_{\longleftarrow} Hom_{\mathtt{SETS}}(X,\beta) $$

which is natural in $X\in\mathtt{SETS}$.

 

우선 우변의 limit을 이루는 functor는

$$ Hom_{\mathtt{SETS}}(X,\beta):I^{op}\longrightarrow\mathtt{SETS},\quad i\mapsto Hom_{\mathtt{SETS}}(X,\beta(i)) $$로 정의되는 contravariant functor이므로 위의 natural bijection 식 자체는 make sense하다. 

 

실제로 natural bijection은 다음과 같이 주어진다. $\displaystyle\varphi\in Hom_{\mathtt{SETS}}(X,\lim_{\longleftarrow}\beta)$를 하나 고정하자. 그러면 product $\displaystyle(\prod_{i\in I}X_i, (p_i))$에 대하여 각 $i\in I$마다 $\varphi_i:=p_i\circ\varphi$로 정의할 수 있다.

그러면 $\displaystyle(\varphi_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}Hom_{\mathtt{SETS}}(X,X_i)$이 되고 더 나아가 $\displaystyle(\varphi_i)_{i\in I}\in\lim_{\longleftarrow} Hom_{\mathtt{SETS}}(X,\beta)$이다. 이는 $\beta(s)\circ\varphi_j=\varphi_i$, 즉 모든 $x\in X$에 대하여 $\beta(s)(\varphi_j(x))=\varphi_i(x)$임만 보이면 성립하는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 

 

이로부터 한 쪽 mapping $\varphi\mapsto (\varphi_i)_{i\in I}$를 구했다.

    

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반대로 $\displaystyle(\psi_i)_{i\in I}\in\lim_{\longleftarrow} Hom_{\mathtt{SETS}}(X,\beta)$을 고정하자. 그러면 이는 $Hom_{\mathtt{SETS}}(X,\beta(s))\psi_j=\psi_i$가 됨을 뜻하고, 다시 말하면 $\beta(s)\circ\psi_j=\psi_i$가 됨을 뜻한다. 이로부터 각 $x\in X$마다 $\beta(s)(\psi_j(x))=\psi_i(x)$이므로 $\displaystyle(\psi_i(x))_{i\in I}\in\lim_{\longleftarrow}\beta$가 됨을 안다.

 

이제 $$ \psi:X\longrightarrow\lim_{\longleftarrow}\beta,\quad x\mapsto(\psi_i(x))_{i\in I} $$를 정의해주면 이는 잘 정의된 map이고 $\displaystyle\psi\in Hom_{\mathtt{SETS}}(X,\lim_{\longleftarrow}\beta)$가 됨을 안다.

 

즉, 반대쪽 mapping $$(\psi_i)_{i\in I}\mapsto\psi$$를 얻었다.

 

이렇게 정의한 두 map은 서로 inverse 관계를 가져서 bijection을 주고, 더 나아가 $X$에 관한 naturality가 성립하는걸 보이면 natural bijection이 보여지게 된다. 이에 대한 증명은 생략한다.

 

 

Step 2

이제 일반적인 category $\mathcal{C}$에서 limit을 정의해보도록 한다. $\beta:I^{op}\longrightarrow\mathcal{C}$를 contravariant functor라고 하자.

 

그러면 각 $$X\in\mathcal{C}$$에 대하여 $$ Hom_{\mathcal{C}}(X,\beta):I^{op}\longrightarrow\mathtt{SETS},\quad i\mapsto Hom_{\mathcal{C}}(X,\beta(i)) $$ 또한 contravariant functor가 된다. 위 step 1에서 contravariant functor $I^{op}\longrightarrow\mathtt{SETS}$에 대해서는 limit $\displaystyle\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(X,\beta)\in\mathtt{SETS}$은 정의했다. 따라서 아래와 같은 contravariant functor $F\in Fct(\mathcal{C}^{op},\mathtt{SETS})$를 정의할 수 있다.

object는 $$ F(X):=\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(X,\beta),\quad X\in\mathcal{C} $$ 로 대응하게끔 하고,

morphism $f:X\longrightarrow Y$는 아래의 diagram이 commute하도록 $Ff$를 정해준다. ($\psi_i:=f^*(\varphi_i)$라 할 때 $Ff((\varphi_i)):=(\psi_i)$가 되도록. 그러면 $\beta(s)\circ\psi_j=\psi_i$를 만족시킨다.) $$ Ff:\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(Y,\beta)\longrightarrow\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(X,\beta) $$

이렇게 정의된 $F$는 representable일 수도 있고 아닐 수도 있다. (당연히 category $\mathcal{C}$가 무엇이냐에 따라 다를 것이다.) 이제 $F$가 representable이라고 가정하고 이 때의 representation을 $L\in\mathcal{C}$이라고 써보자. yoneda embedding 관점에서는 $ h_L\cong F $이고 좀 더 구체적으로 쓰면 각 $X\in\mathcal{C}$에 대해

$$ Hom_{\mathcal{C}}(X,L)\cong\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(X,\beta) $$

가 된다. ($X$에 대한 naturality.) canonical morphism을 찾기 위해 $X=L$이라고 하면 

$$ Hom_{\mathcal{C}}(L,L)\cong\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(L,\beta) $$

이 되면서 좌변에서 $id$를 택할 수 있는데 이에 대응하는 우변의 값을 $(p_i)_{i\in I}$라 써보자. 그러면 이는 $\beta(s)\circ p_j=p_i$를 만족시키고, 더 나아가 $X$에 관한 naturality를 적용해보면 임의의 morphism $f:X\longrightarrow L$에 대해 다음의 commutative diagram이 성립하게 된다.

마지막 점선 부분을 다시 표현하면 아래와 같다.

우리는 이 때의 $L$을 $\displaystyle\lim_{\longleftarrow}\beta$로 쓰고

$$ \bigg(\lim_{\longleftarrow}\beta, (p_i)_{i\in I}\bigg) $$

를 $\beta$의 limit이라고 부른다. 이러한 limit은 방금 본 naturality로부터 universal property를 가짐을 안다.

 

 

Universal property of limit

위에서 본 limit의 universal property를 정돈하여 쓰면 아래와 같다.

projective system $\beta:\mathcal{I}^{op}\longrightarrow\mathcal{C}$가 주어졌다고 하자. 각 $s:i\longrightarrow j$마다 $\beta(s)\circ\alpha_j=\alpha_i$를 만족시키는 임의의 $(\alpha_i:X\longrightarrow\beta(i))_{i\in I}$에 대하여 unique morphism $\displaystyle\alpha:X\longrightarrow\lim_{\longleftarrow}\beta$가 존재하여 $p_i\circ\alpha=\alpha_i$를 만족한다.

compatible 혹은 coherent한 condition $\beta(s)\circ\alpha_j=\alpha_i$를 만족시키는 object $X$ 중에서는 limit이 terminal object임도 알 수 있다.

 

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Colimit

Definition of colimit

colimit을 정의하는 것은 limit 정의의 analogue이므로 바로 정의만 하고 넘어간다.

$\alpha:I\longrightarrow\mathcal{C}$를 inductive system이라고 하자. 각 $X\in\mathcal{C}$마다 다음의 contravariant functor를 정의한다.

$$ Hom_{\mathcal{C}}(\alpha,X):I^{op}\longrightarrow\mathtt{SETS},\quad i\mapsto Hom_{\mathcal{C}}(\alpha(i),X) $$

그러면 우리는 $X$마다 위 functor의 limit $\displaystyle\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(\alpha, X)$를 생각할 수 있고 이에 따라 아래의 functor

$$ X\mapsto\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(\alpha, X) $$

를 고려할 수 있다. 이 functor가 representable할 때, 이 때의 representation을

$$ \lim_{\longrightarrow}\alpha $$

로 쓰고,

$$ \bigg(\lim_{\longrightarrow}\alpha,(\iota_i:\alpha(i)\longrightarrow\lim_{\longrightarrow}\alpha)_{i\in I}\bigg) $$

를 $\alpha$의 colimit이라고 부른다. (여기서 $(\iota_i)_{i\in I}$는 canonical morphism이고 위의 limit과 같은 방식으로 구할 수 있다.)

 

 

Universal property of colimit

이것도 statement만 남긴다.

inductive system $\alpha:I\longrightarrow\mathcal{C}$가 주어졌다고 하자. 각 $s:i\longrightarrow j$마다 $f_i=f_j\circ\alpha(s)$를 만족시키는 임의의 $(f_i:\alpha(i)\longrightarrow X)_{i\in I}$에 대하여 unique morphism $\displaystyle f:\lim_{\longrightarrow}\alpha\longrightarrow X$가 존재하여 $f\circ\iota_i=f_i$를 만족한다.

coherent한 condition $f_i=f_j\circ\alpha(s)$를 만족시키는 object $X$ 중에서는 colimit이 initial object임을 알 수 있다.

 

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Examples

Product and Coproduct

두 개의 object $\bullet_1$, $\bullet_2$를 갖는 discrete category를 $\mathbf{2}$라고 하자. 그리고 또 다른 category를 $\mathcal{C}$라 하자.

    

$\bullet_1\mapsto A$, $\bullet_2\mapsto B$로 보내는 inductive system $\alpha:\mathbf{2}\longrightarrow\mathcal{C}$와 projective system $\beta:\mathbf{2}^{op}\longrightarrow\mathcal{C}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{\longrightarrow}\alpha$와 $\displaystyle\lim_{\longleftarrow}\beta$는 각각 무엇일까?

 

이를 파악하기 위해서는 $s:i\longrightarrow j$에 해당하는 것을 생각해야 할텐데, 애초에 discrete category이므로 자기 자신으로 가는 morphism뿐이다. 결국 $\alpha$의 colimit을 찾는다는 것은 모든 $i=1,2$에 대하여

를 만족시키는 universal한 morphism $\displaystyle f:\lim_{\longrightarrow}\alpha\longrightarrow C$의 존재를 보장받을 수 있는 object를 찾을 수 있냐는 말과 같은데, 우리는 이러한 성질을 만족하는 object를 이미 다룬 적 있다. 바로 coproduct $A\oplus B$이다! 비슷하게 $\beta$의 limit은 product $A\times B$가 된다. 

 

이로부터 product와 coproduct는 limit과 colimit의 한 종류임을 알 수 있다. (product와 coproduct에 대한 posting은 여기

 

 

Initial and Terminal object

이번에는 empty category $\emptyset$을 생각해보자. $\alpha:\emptyset\longrightarrow\mathcal{C}$와 $\beta:\emptyset^{op}\longrightarrow\mathcal{C}$의 colimit과 limit은 각각 무엇일까?

 

limit만 생각해보도록 하자. 이번에도 $s:i\longrightarrow j$와 같은 것을 생각할텐데, empty category는 object set이 empty set이므로 나올 수 있는 $s$가 없게 된다. 즉, 임의의 object $$X\in\mathcal{C}$$에 대하여 morphism $$ X\longrightarrow\lim_{\longleftarrow}\beta $$ 의 존재를 항상 보장받아야 한다는 뜻이 된다. 이러한 조건을 만족시키는 object를 `terminal object`라 한다. 즉, limit은 terminal object이다.

 

비슷하게 colimit은 임의의 $$X\in\mathcal{C}$$에 대하여 morphism

$$ \lim_{\longrightarrow}\alpha\longrightarrow X $$

의 존재를 보장받아야 하는데, 이러한 조건을 만족시키는 object를 initial object라고 하고, 이로부터 colimit은 initial object임을 안다.

    

 

Kernel and Cokernel

마지막으로 다음과 같은 gamma category $\Gamma$를 생각해보자. (생긴게 gamma같이 생겨서 gamma category다.)

projective system $\beta:\Gamma^{op}\longrightarrow A\text{-}\mathtt{MOD}$가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

이 때 $\displaystyle\lim_{\longleftarrow}\beta$는 무엇일까? limit이 무엇인지는 몰라도 우선 컨셉을 잡기 위해 아래의 그림을 생각해보았다.

그러면 $p_1=p_2=0$이고 $f\circ p_3=0$이어야 한다. $f$를 통해 가면 $0$이 되는 것이라... 여기서 kernel을 생각하는 것이 자연스럽다는 결론에 도달한다. 

 

universal property 입장에서 살펴보자. 임의의 $A$-module $X$와 $\beta(s)$와 coherent한 $A$-linear maps  $$g_1:X\longrightarrow 0,\quad g_2:X\longrightarrow N,\quad g_3:X\longrightarrow M$$ 를 생각하면, coherence에 의해 $g_1=g_2=0$임을 안다. 이제 이를 기반으로 아래의 diagram을 살펴보자. (이 때 어차피 $0\longrightarrow N$ 관련해서는 다 $0$이므로 그림에서 제외하였다.)

즉, $f\circ g_3=0$이고 $p_3\circ g=g_3$를 만족해야 한다. $g_3$의 이미지를 $f$를 태워보내면 $0$이 되어야 하니, 이로부터도 $g_3$의 image는 $\ker f$에 속해야 함을 안다. 따라서 $\beta$의 limit은 $f$의 kernel이다.

 

비슷하게 inductive system $\alpha:\Gamma\longrightarrow A\text{-}\mathtt{MOD}$에 대해서도 생각해보면 $\alpha$의 colimit은 $f$의 cokernel임을 알 수 있다.

 

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Right adjoint is continuous

Definition of continuous and cocontinuous

지금까지 limit과 colimit을 다뤄보았다. 해석학에서 real-valued function이 limit와 commute할 수 있다는 것과 continuous가 동치이듯, category에서도 continuous와 cocontinuous를 정의한다. 

 

Functor $F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{C}'$이 continuous라고 하는 것은, projective system $$\beta:I^{op}\longrightarrow\mathcal{C}$$에 대하여

$$ F\lim_{\longleftarrow}\beta\cong\lim_{\longleftarrow}F\beta $$

를 만족할 때이다. 비슷하게 injective system $\alpha:I\longrightarrow\mathcal{C}$에 대하여 

$$ F\lim_{\longleftarrow}\alpha\cong\lim_{\longleftarrow}F\alpha $$

를 만족할 때 $F$가 cocontinuous하다고 한다. 

 

 

Observation

Functor $F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{C}'$과 projective system $\beta:I^{op}\longrightarrow\mathcal{C}$가 주어졌다고 하자. 그러면 $F\beta:I^{op}\longrightarrow\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{C}'$ 또한 projective system이 된다.

 

$F$와 $F\beta$의 limit이 각 category에 존재한다고 가정하자. 그러면 $\beta$의 limit이 갖는 coherent map을 functor $F$를 태워보낼 수 있을텐데, 이 때 $\displaystyle\lim_{\longleftarrow}F\beta$의 universal property에 의해 다음과 같은 canonical map $f$의 존재를 보장받는다.

이로부터 각 limit이 존재한다고 하면 둘 사이의 canonical morphism이 있는 것까지는 보였다. 이제 $F$가 right adjoint라면 이 map이 사실은 동형이라는 것을 보이고자 하는 것이다.

 

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Proof

$F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{C}'$을 right adjoint라고 하고 $E\dashv F$라 쓰자. 그리고 projective system $\beta:I^{op}\longrightarrow\mathcal{C}$를 고정하자.

 

그러면 임의의 $X\in\mathcal{C}'$에 대하여, $E\dashv F$이므로 

$$ Hom_{\mathcal{C}'}(X,F\lim_{\longleftarrow}\beta)\cong Hom_{\mathcal{C}}(EX,\lim_{\longleftarrow}\beta) $$가 성립하고, $\displaystyle\lim_{\longleftarrow}\beta$의 universal property에 의해

$$ Hom_{\mathcal{C}}(EX,\lim_{\longleftarrow}\beta)\cong\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(EX,\beta) $$

가 성립한다. 다시 $E\dashv F$이므로

$$ \lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}}(EX,\beta)\cong\lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}'}(X,F\beta) $$

가 되고, $\displaystyle\lim_{\longleftarrow}F\beta$의 universal property에 의해

$$ \lim_{\longleftarrow}Hom_{\mathcal{C}'}(X,F\beta)\cong Hom_{\mathcal{C}'}(X,\lim_{\longleftarrow}F\beta) $$

가 됨을 안다. 즉, 정리하면

$$ Hom_{\mathcal{C}'}(X,F\lim_{\longleftarrow}\beta)\cong Hom_{\mathcal{C}'}(X,\lim_{\longleftarrow}F\beta) $$

이므로 Yoneda lemma에 의해

$$ F\lim_{\longleftarrow}\beta\cong\lim_{\longleftarrow}F\beta $$

가 성립하게 된다.

 

그러므로 $F$는 continuous이다. 

 

덧으로, 방금 yoneda lemma로부터 나온 isomorphism은 Observation에서 잡은 $f$와 같은 morphism이다. 왜냐하면 limit은 terminal object이기 때문이다.) (하나 더 덧으로, left adjoint는 cocontinuous라는 명제 또한 보일 수 있는데, 이는 대칭적이므로 생략한다.)

 

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Example

이전 포스팅에서 다뤘던 adjunction

$$ -\otimes_A N\dashv Hom_{A\text{-}\mathtt{MOD}}(N,-) $$

을 상기해보자. 

  

이 Hom functor는 right adjoint이고, 위에서 보였듯 kernel은 limit이기 때문에 right adjoint인 Hom functor와 commute 하게 된다. (continuity) 따라서 Hom functor는 left exact 하다는 것까지 알 수 있다. 비슷하게 tensor functor는 left adjoint이고, 위에서 언급했듯 cokernel은 colimit이기 때문에, tensor functor와 cokernel은 서로 commute하게 된다. (cocontinuity) 이로부터 tensor functor는 right exact하다는 것을 안다.

 

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마무리

여기까지 해서 길고 길었던 category theory의 정리를 일단락 한다. 추후 대수기하 공부를 하다가 필요한 내용이 있으면 추가할 예정이다. category를 공부하는 누군가가 이 포스팅들을 보고 도움이 되었으면 좋겠다.