[Category] 1. Category, Isomorphism

목차

• 시작하면서...
• Category 정의
• Isomorphism
• Examples 1
• Examples 2
• 마무리

 

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시작하면서...

범주론이라고도 불리우는 category theory는 현대 수학에서는 없어서는 안 될 강력한 추상화 도구이다. 엔지니어링 사이드에서는 함수형 프로그래밍 등에서도 많이 응용되는 듯 하다. Categories, What's the Point? 가까운 미래에는 여러 프로그래밍 언어를 다뤄보면서 category theory를 접목시킬 기회가 생길지는 모르겠지만, 우선은 수학에서 요긴하게 갖다쓸 수 있도록 study를 진행하고자 한다.

 

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Category 정의

Category $\mathcal{C}$는 object와 morphism으로 구성이 되어 있는 대상이다.

 

좀 더 구체적으로, object들의 집합 $Ob(\mathcal{C})$와 각 object $X,Y\in Ob(\mathcal{C})$(또는 $X\in\mathcal{C}$라고도 쓴다)의 ordered pair $(X,Y)$마다 morphism의 집합 $Hom_{\mathcal{C}}(X,Y)$이 있으면서 아래의 조건을 만족시킨다. :

 

각 $X,Y,Z\in Ob(\mathcal{C})$에 대하여, composition

$$ \circ: Hom_{\mathcal{C}}(Y,Z)\times Hom_{\mathcal{C}}(X,Y)\longrightarrow Hom_{\mathcal{C}}(X,Z)  $$

가 존재하여 associative하고, 각 $X\in\mathcal{C}$마다 identity morphism $id_X\in Hom_{\mathcal{C}}(X,X)$가 존재한다.

 

여기서 주의할 점은 각 object가 집합이라고 말한 적이 없고, 각 morphism이 함수라고 말한 적이 없다는 것이다. 따라서 identity morphism도 정의역의 원소를 자기 자신으로 보내는 함수로 생각해서는 안된다. 여기서의 identity는 정말 항등원으로써의 identity를 뜻한다.

 

만약 object가 집합이고 morphism이 함수라면 우리는 이러한 category를 concrete category라고 부른다.

 

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Isomorphism

Category $\mathcal{C}$가 하나 주어졌다고 하자. 이 때 object $X,Y\in\mathcal{C}$에 대해 isomorphism은 다음의 조건을 만족하는 morphism $f:X\rightarrow Y$를 뜻한다.:

 

적당한 morphism $g:Y\longrightarrow X$가 있어서

$$g\circ f=id_X,\:f\circ g=id_Y$$

를 만족한다.

 

이 때 $X$와 $Y$는 서로 isomorphic하다고 하며, $X\cong Y$ 혹은 $f:X \stackrel{\sim}{\longrightarrow} Y$라 쓴다.

 

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Examples 1

1. The category $\mathtt{SETS}$ of sets and maps.
2. The category $\mathtt{GRP}$ of groups and group homomorphisms.
3. The category $\mathtt{AB}$ of abelian groups and group homomorphisms.
4. The category $\mathtt{A-MOD}$ of $A$-modules and $A$-linear maps where $A$ is a ring.
5. The category $\mathtt{TOP}$ of topological spaces and continous maps.

 

위 다섯 가지의 예는 모두 concrete category 중 자주 쓰이는 category이다. 5번 예처럼 category theory는 대수학에만 적용되는 개념이 아니라, 수학 전반에 걸쳐 쓰일 수 있다는 것을 알아야 한다.

 

한편, $\mathtt{AB}$와 $\mathtt{GRP}$의 경우, the set of objects와 the set of morphisms가 포함관계에 있음을 알 수 있다. 이러한 경우 $\mathtt{AB}$를 $\mathtt{GRP}$의 subcategory라 부른다. 특히 이 경우는 morphism sets은 아예 같은 것을 알 수 있는데, 이 땐 특별히 full subcategory라고 부른다. full에 관해서는 후에 좀 더 자세히 다루도록 하겠다.

 

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Examples 2

이번에는 좀 더 다양하고 새로운 category를 소개하고자 한다.

 

1. Category $\mathcal{C}$가 주어질 때마다 opposite category $\mathcal{C}^{op}$를 정의하고자 한다. 이름에서부터 알 수 있듯, 방향이 반대라는 뜻이다. 좀 더 자세히 말하자면 다음과 같다.:
   object:
   $$Ob(\mathcal{C})=Ob(\mathcal{C}^{op}),$$
   morphism:
   $$Hom_{\mathcal{C}^{op}}(X,Y)=Hom_{\mathcal{C}}(Y,X)$$
   for all $X,Y\in\mathcal{C}^{op}$.
   
   
   
2. Category $\mathcal{C}$가 discrete이라고 하는 것은, 어떠한 object pair $(X,Y)$를 가지고 오더라도,
   $$ Hom_{\mathcal{C}}(X,Y) = \begin{cases} \{id_X\} & \text{if } X=Y,\\ \emptyset & \text{if } X\neq Y. \end{cases} $$
   즉, identity morphism만 있는 상황인 것이다. 서로간의 연결 없이 뚝뚝 떨어져 있는 상황을 생각하면 그럴싸한 이름이다.
   
   
3. Poset(Partially ordered set) $(I,\leq)$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 category $\mathtt{I}$는 다음과 같이 줄 수 있다.:
   object:
   $$Ob(\mathtt{I})=I$$
   morphism:
   $$ Hom_{\mathtt{I}}(i,j) = \begin{cases} \{\ast\} & \text{if } i\leq j,\\ \emptyset & \text{if } i\nleq j. \end{cases}$$
   Topological space $X$가 하나 주어졌을 때, 주어진 topology 위에 set-inclusion 구조를 더하면 topology를 poset으로 볼 수 있음은 명확하다. 이 poset으로부터 얻는 category를 당분간 $\mathtt{OPEN}_X$라 쓴다.
   
   
   
4. Category $\mathcal{C}$가 유한개의 morphism만을 가질 때 finite이라고 한다. 만약 category가 finite이라면, the set of objects도 finite이어야 한다. 왜냐하면 각 object는 항상 identity morphism을 갖기 때문이다.

 

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마무리

이번에는 category가 무엇인지, 어떤 것들이 있는지 간단히 살펴보았다. 아마도 category를 처음 보는 사람들은 이게 뭘 하는 것인가 싶을지도 모른다. 실제로 수학적인 성숙도가 부족하다면 앞으로 더욱 더 이해하기는 쉽지 않을 것으로 보인다. 하지만 advanced한 수준의 수학을 이해하기 위해서는 반드시 필요한 개념이기에, 미래의 나 포함 누군가는 볼 것 같아 이렇게 남겨둔다. 다음 포스팅에서는 category간의 함수 같은 `functor` (function 오타낸거 아니다.)라는 개념에 대해서 살펴보고자 한다.