[Category] 4. Equivalence of Categories

목차

•     시작하면서...
•     Category of functors 정의
•     Equivalence of categories 정의
•     Theorem
•     Examples
•     마무리

 

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시작하면서...

이후 Yoneda lemma를 비롯한 좀 더 많은 내용을 다루기 위해서는 equivalence of categories의 개념을 알아야 한다. 점점 추상화가 고도화되는데, 중간에 길을 잃지 않도록 계속해서 신경을 써야할 것 같다.

 

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Category of functors 정의

두 개의 category 사이의 functor는 결코 하나가 아니다. 이러한 functor들을 다루기 위해서는 해당 functor들이 사는 category를 생각하는 것이 자연스러워 보인다.

 

$\mathcal{C}$와 $\mathcal{D}$가 category라고 하자. 이 때 $Fct(\mathcal{C},\mathcal{D})$를 다음의 object와 morphism을 갖는 category로 정의한다.:

 

object: a functor $$F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{D}, $$

morphism: a natural transformation $$\alpha:F\longrightarrow G$$ between functors $F,G:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{D}$.

 

그러면 이는 실제로 category가 된다.

 

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우선 두 natural transformation의 composition이 다시 natural transformation이 되도록 정의해보자.

 

Functors $F,G,H:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{D}$에 대하여 natural transformations $\alpha:F\longrightarrow G$, $\beta:G\longrightarrow H$가 주어졌다고 하자.

 

이 때 $\beta\circ\alpha:F\longrightarrow H$를 다음의 $\mathcal{D}$의 morphism을 갖는 morphism으로 정의하고자 한다.:

For each $X\in\mathcal{C}$, $$(\beta\circ\alpha)_X:FX\longrightarrow HX$$ defined by $(\beta\circ\alpha)_X:=\beta_X\circ\alpha_X.$

 

이렇게 정의한 이유는 다음의 commutative diagram이 $\mathcal{D}$의 morphism이기에 성립하기 때문이다.

실제로 이렇게 정의된 $\beta\circ\alpha$는 natural transformation이 되는데, 이유는 아래의 diagram이 commute하기 때문이다.

그러므로 natural transformation $\alpha:F\longrightarrow G$와 $\beta:G\longrightarrow H$의 composition $\beta\circ\alpha:F\longrightarrow H$ 또한 natural transformation이 된다.

 

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이제 이 composition이 associative한지 확인해야 하는데, 이는 위의 과정을 반복하므로, 아래의 commutative diagram으로 detail을 대신한다.:

 

Functors $F,G,H,K:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{D}$와 natural transformations $\alpha:F\longrightarrow G$, $\beta:G\longrightarrow H$, $\gamma:H\longrightarrow K$에 대하여, 아래의 diagram이 commute한다.

 

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마지막으로 각 functor $F\in Fct(\mathcal{C},\mathcal{D})$에 대해 identity morphism $id_F$은 무엇일까? 가장 자연스럽게 정의할 수 있는 것은 다음과 같이 할 수 있다.

For each $X\in\mathcal{C}$, $(id_F)_X:FX\longrightarrow FX$ is defined by an identity morphism of $FX$ in $\mathcal{D}.$

 

그러면 natural transformation이 만족해야 하는 commutative diagram이 자연스럽게 성립한다.

 

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위의 과정들로부터 category of functors $Fct(\mathcal{C},\mathcal{D})$를 정의하였다.

 

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Equivalence of categories 정의

이제 두 개의 category가 equivalent한 것이 무엇인지 알아보자. 

 

두 category $\mathcal{C}$와 $\mathcal{D}$가 equivalent하다는 것은, functors $F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{D}$, $G:\mathcal{D}\longrightarrow\mathcal{C}$가 있어서 다음을 만족하는 것이다.: $$F\circ G\cong id_{\mathcal{D}}$$ and $$G\circ F\cong id_{\mathcal{C}}.$$

이 때의 $F$$와 $G$를 equivalences of categories라고 부른다.

 

여기서 주목할 점은 두 functor의 합성이 identity morphism과 equal이 아니라 isomorphic 하다는 것이다. 그저 functor로써 같으면 된다는 의미로 해석할 수 있다. 해당 isomorphism은 $Fct(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 내의 morphism으로써 고려되고 있음을 알아야 한다.

 

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Theorem

The functor $F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{C}'$ is an equivalence of categories if and only if $F$ is fully faithful and essentially surjective.

 

fully faithful은 morphism에 관한 equivalence를 주고, essentially surjective는 object에 관한 equivalence를 줄 것 같다. 증명은 아래와 같다.

 

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우선 $F$가 equivalence of categories라고 가정하자. 그러면 이에 대응하는 equivalence of categories $G:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{C}'$가 존재해서 $F\circ G\cong id_{\mathcal{C}'}$이면서 $G\circ F\cong id_{\mathcal{C}}$를 만족한다.

 

여기서는 편의상 $G\circ F\cong id_{\mathcal{C}}$임을 이용하려 한다. $c:id_{\mathcal{C}}\longrightarrow G\circ F$인 natural isomorphism이라 하자. 

 

$c$는 각 $X\in\mathcal{C}$마다 isomorphisms $c_X:X\longrightarrow (G\circ F)(X)$이다. 편의상 각 $c_X$의 inverse를 $d_X:(G\circ F)(X)\longrightarrow X$라고 하자. 

 

우선 $F$가 fully faithful임을 보이기 위해 objects $X,Y\in\mathcal{C}$를 고정하자.

 

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1. $F$ is faithful?

$f_1, f_2\in Hom_{\mathcal{C}}(X,Y)$에 대해 $Ff_1=Ff_2$라 가정하자. 그러면 $(G\circ F)(f_1)=(G\circ F)(f_2)$이므로 아래의 commutative diagram을 얻을 수 있고, 이로부터 $f_1=f_2$이어서 $F$는 faithful이다.

 

2. $F$ is full?

$g:FX\longrightarrow FY$인 임의의 morphism이라고 하자. 우리는 $Ff=g$를 만족시키는 morphism $f:X\longrightarrow Y$를 찾길 원한다.

 

임의의 $\mathcal{C}$의 morphism $f:X\longrightarrow Y$에 대해, $c$의 naturality를 적용하면, $c_Y\circ f=GFf\circ c_X$를 얻는다. 

 

한편, morphism $g:FX\longrightarrow FY$로부터 $Gg:GFX\longrightarrow GFY$를 얻고, $f:=d_Y\circ Gg\circ c_X:X\longrightarrow Y$로 정의하면 $c_Y\circ f=Gg\circ c_X$를 얻는다. 

 

결국 이로부터 $GFf=Gg$를 얻는다.

 

그런데 위 1번으로부터, equivalence of categories이면 faithful하기 때문에, 즉, $G$는 faithful하기에 $Ff=g$가 된다.

 

그러므로 $F$는 full이다.

 

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마지막으로 $F$가 essentially surjective임을 보이자. $X'\in\mathcal{C}'$을 고정하자. 이 때 $FX\cong X'$인 $X\in\mathcal{C}$가 존재하는지 보면 된다.

 

$t:id_{\mathcal{C}'}\longrightarrow F\circ G$를 natural isomorphism이라고 하면, $t_{X'}:X'\longrightarrow (F\circ G)(X')$이 isomorphism이란 뜻이고, 여기서 $X:=GX'$이라 정의하면, $t_{X'}$을 통해 $FX\cong X'$를 얻는다.

 

그러므로 $F$는 essentially surjective하다.

 

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다음으로 $F$가 fully faithful하고 essentially surjective하다고 가정하고 equivalence of categories임을 보이자.

 

이를 보이기 위해서 $G\circ F\cong id_{\mathcal{C}}$이면서 $F\circ G\cong id_{\mathcal{C}'}$을 만족시키는 functor $G:\mathcal{C}'\longrightarrow\mathcal{C}$를 construction 하고자 한다.

 

$F$는 essentially surjective이므로 각 $X'\in\mathcal{C}'$에 대하여 $X\in\mathcal{C}$가 존재하여 $FX\cong X'$을 만족한다. Axiom of choice에 의해 $X'\mapsto X$인 함수를 찾을 수 있다. 이 mapping에 대해 $GX':= X$로 쓰자. 그러면 $FGX'\cong X'$이다. 이 isomorphism을 $\alpha_{X'}:FGX'\longrightarrow X'$로 쓰자. 

 

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$\mathcal{C}'$의 morphism $g:X'\longrightarrow Y'$를 하나 고정하자. 그러면 $GX',GY'\in\mathcal{C}$이므로 sets of morphisms 사이의 map $$ Hom_{\mathcal{C}}(GX',GY')\longrightarrow Hom_{\mathcal{C}'}(FGX',FGY') $$ 을 얻을 수 있다. 그런데 $F$는 fully faithful이므로, 이 map은 bijection임을 알 수 있다. 이제 $h:=\alpha_{Y'}\circ g\circ \alpha_{X'}^{-1}$로 정의하면 $h\in Hom_{\mathcal{C}'}(FGX',FGY')$이 되고, 따라서 unique morphism $f:GX'\longrightarrow GY'$이 존재하여 $Ff=h$를 만족시킨다.

 

이로부터 다음의 commutative diagram을 얻는다.

이제 $Gg:=f$로 정의하자. $G$가 functoriality를 갖는다는 것을 보여보자.

 

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1. $G(id_{X'})=id_{GX'}$?

identity morphism $id_{X'}:X'\longrightarrow X'$에 대해 unique morphism $f:GX'\longrightarrow GX'$이 존재해서 $Ff=\alpha_{X'}\circ id_{X'}\circ \alpha_{X'}^{-1}=id_{FGX'}$를 만족시킨다. 

 

위의 uniqueness 혹은 $F$가 faithful이란 사실로부터 $f=id_{GX'}$임을 안다.

따라서 $G(id_{X'})=id_{GX'}$이 된다.

 

2. $G(g'\circ g)=Gg'\circ Gg$?

morphisms $g:X'\longrightarrow Y'$와 $g':Y'\longrightarrow Z'$에 대하여, 위의 commutative diagram을 각각 만족시키는 unique morphisms을 각각 얻을 것이다. 이로부터 아래의 큰 commutative diagram을 얻는다.

다시 한 번 $g'\circ g$에 위 논리를 적용하면 unique morphism $f:GX'\longrightarrow GZ'$이 있어 $Ff=FGg'\circ FGg=F(Gg'\circ Gg)$을 만족하게 된다. 

 

따라서 $f=Gg'\circ Gg$, 즉, $G(g'\circ g)=Gg'\circ Gg$를 얻는다.

 

그러므로 $G:\mathcal{C}'\longrightarrow\mathcal{C}$는 covariant functor이고 동시에 $\alpha:id_{\mathcal{C}'}\longrightarrow F\circ G$는 natural isomorphism이 된다.

 

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마지막으로 natural isomorphism $\beta:id_{\mathcal{C}}\longrightarrow G\circ F$을 construction 하고자 한다.

 

$X\in\mathcal{C}$에 대하여 $\alpha_{FX}:FX\longrightarrow FGFX$는 isomorphism이다. 여기서 $F$가 fully faithful이므로 unique morphism $\beta_X:X\longrightarrow GFX$가 존재하여 $F\beta_X=\alpha_{FX}$를 만족한다.

 

비슷하게 $\alpha_{FX}^{-1}$에 대해서도 생각해보면 unique morphism $\gamma_X:GFX\longrightarrow X$가 존재해서 $F\gamma_X=\alpha_{FX}^{-1}$가 된다.

 

이로부터 $F(\gamma_X\circ\beta_X)=F\gamma_X\circ F\beta_X=\alpha_{FX}^{-1}\circ\alpha_{FX}=id_{FX}$이고 $F$가 faithful하므로 $\gamma_X\circ\beta_X=id_X$를 얻는다. 비슷하게 $\beta_X\circ\gamma_X=id_{GFX}$이다.

 

따라서 $\beta_X:X\longrightarrow GFX$는 isomorphism이 된다.

 

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이제 $\beta$의 naturality만 확인하면 된다.

 

morphism $f:X\longrightarrow Y$를 고정하자. 그러면 $Ff:FX\longrightarrow FY$는 $\mathcal{C}'$의 morphism이므로 $\alpha$의 naturality에 의해 다음 commutative diagram을 얻는다.

이 때 $F$는 faithful하므로 우리가 원하는 commutative diagram을 얻을 수 있다.

 

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그러므로 $\beta:id_{\mathcal{C}}\longrightarrow G\circ F$는 natural isomorphism이다. 최종적으로 $F$는 equivalence of categories이다.

 

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Examples

1. $\mathbb{Z}\text{-}\mathtt{MOD}$와 $\mathtt{AB}$는 equivalent하다.

 

이건 어떤 의미일까? Ring R이 하나 주어질 때마다 abelian group A 위에 $\mathbb{Z}$-module structure를 준다는 것은 ring homomorphism $R\longrightarrow End(A)$를 하나 생각하는 것과 같다.

 

지금은 $\mathbb{Z}$-module structure를 주고 싶으므로 $\mathbb{Z}\longrightarrow End_{\mathtt{AB}}(A)$를 생각하는 것과 같은데, 이 ring homomorphism은 사실 $1$이 $id_A:a\mapsto a$로 가므로 이미 맵은 결정되어 있다.

 

즉, abelian group $A$ 위에 $\mathbb{Z}$-module structure를 줄 수 있는 방법은 유일하다는 것이다.

 

두 category가 equivalent 하다는 것과의 관계성은 다음의 그림으로 대체한다. (forgetful functor $F:\mathbb{Z}\text{-}\mathtt{MOD}\longrightarrow\mathtt{AB}$는 equivalence. $A$는 $\mathbb{Z}$-module.)

 

2. 자연수 전체의 집합 $\mathbb{N}$과 field $k$에 대해 category $\mathcal{N}$을 the set of objects는 $\mathbb{N}$, 자연수 pair $(n,m)$에 대해 the set of morphisms는 $Hom_{\mathcal{N}}(n,m):=M_{n\times m}(k)$로 정의하자.

 

그러면 아래와 같이 정의되는 functor $\mathcal{N}\longrightarrow k\text{-}\mathtt{VECT}^f$는 equivalence of categories이다. (여기서 $k\text{-}\mathtt{VECT}^f$는 category of finite dimensional $k$-vector spaces.)

$$n\mapsto k^n$$

$$M\in M_{n\times n}(k)\mapsto L_M\in Hom_{k\text{-}\mathtt{VECT}^f}(k^n,k^m)$$

이로부터 finite dimensional $k$-vector space는 본질적으로 $k^n$뿐이며 linear map 또한 행렬뿐임을 안다.

 

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마무리

이번 포스팅에서는 가능한 한 논리적인 구멍을 없애기 위해 시간을 상당히 투자했다. 후에 나 포함 누군가가 equivalence of categories에 대해 학습할 때 도움이 되면 좋겠다.

 

다음 포스팅에서는 Yoneda lemma에 대한 얘기를 해보고자 한다.