수학 기록지

목차 시작하면서... Limit Definition of limit Step 1 Step 2 Universal property of limit Colimit Definition of colimit Universal property of colimit Examples Product and Coproduct Initial and Terminal object Kernel and Cokernel Right adjoint is continuous Definition of continuous and cocontinuous Observation Proof Example 마무리 시작하면서... 대수기하를 하는데 필요한 category theory의 마지막 concept으로써 limit과 colimit에 대해 알아보도록..

목차 시작하면서... Product Definition Representability and Universal property Terminal object Coproduct Definition Representability and Universal property Initial object Examples Category of abelian groups Category of topological spaces 마무리 시작하면서... 이번 posting에서는 product와 coproduct에 대해서 다뤄본다. 이는 앞으로 다룰 limit과 colimit의 special case가 된다. Product Definition Index set $I$와 category $\mathcal{C}$가 주어졌다고 하자...

목차 시작하면서... Product category, Bifunctor Product category Bifunctor Adjoint pair Definition Remark Examples free functor tensor functor and hom functor scalar extension and restriction localization group ring and G-module 마무리 시작하면서... 이번 포스팅에서는 대수 공부할 때 알게모르게 쓰였던 adjoint pair에 관하여 다뤄보고자 한다. Product category, Bifunctor Product category 두 category $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$이 주어졌다고 하자. $\mathcal{..

목차 시작하면서... Representable functor 정의 Examples Tensor product Product of sets 마무리 시작하면서... 지난 포스팅에서는 Yoneda lemma를 다루며 hom functor가 생각보다 꽤 중추적인 역할을 하고 있음을 알았다. 어떤 의미에서는 우리가 구체적으로 아는, 나름 general하면서도 구체적으로 아는(이 말이 모순인가? ㅎㅎ) functor는 hom functor 뿐인 것 같다. 그래서 주어진 functor가 hom functor와 naturally isomorphic 한지를 보아 해당 functor를 이해하려는 노력을 하는데, 여기서부터 representation of a functor가 등장한다. Representable functor..

목차 시작하면서... Category of presheaves 정의 Yoneda embedding 정의 Yoneda lemma Yoneda lemma 의미 Yoneda lemma 증명 Corollary 1 Corollary 2 마무리 시작하면서... 이번 포스팅에서는 yoneda lemma와 이에 관련한 corollary 몇가지를 살펴보고자 한다. yoneda lemma 및 yoneda embedding이 어떤 의미가 있는지에 대해 나의 생각을 적어놓고자 한다. Category of presheaves 정의 $\mathcal{C}$를 category라고 하자. 이 때 $$\mathcal{C}^{\wedge}:=Fct(\mathcal{C}^{op},\mathtt{SETS})$$ 를 the category ..

목차 시작하면서... Category of functors 정의 Equivalence of categories 정의 Theorem Examples 마무리 시작하면서... 이후 Yoneda lemma를 비롯한 좀 더 많은 내용을 다루기 위해서는 equivalence of categories의 개념을 알아야 한다. 점점 추상화가 고도화되는데, 중간에 길을 잃지 않도록 계속해서 신경을 써야할 것 같다. Category of functors 정의 두 개의 category 사이의 functor는 결코 하나가 아니다. 이러한 functor들을 다루기 위해서는 해당 functor들이 사는 category를 생각하는 것이 자연스러워 보인다. $\mathcal{C}$와 $\mathcal{D}$가 category라고 하자..

목차 시작하면서... Natural transformation 정의 Examples 마무리 시작하면서... 드디어 natural transformation에 대해 다룰 시간이 왔다. 정의가 다소 복잡하여 처음에는 이해하기 어려웠으나, 사실 지금도 이해했다고 하면 과장된 것 같지만, 어쨌든 내 나름의 방식대로 이해를 해보았다. 지나고 보면 알고 난 후에는 별게 아닐지라도, 이러한 과정들이 굉장히 값진 과정이라는걸 알기에 기록으로 남겨둔다. 보통 natural transformation을 확인하는 것은 막상 쓰기에는 꽤 귀찮은 작업이어서 책의 저자들은 대부분 이를 생략한다. 본 포스팅에서는 좀 귀찮긴 하지만 기록용이니까 풀이를 가능한 한 감추지 않으려고 한다. Natural transformation 정의 ..

목차 시작하면서... Functor 정의 Examples 1 Faithful, Full, Fully faithful functors Examples 2 마무리 시작하면서... 내 짧은 수학적 경험만으로도 알 수 있는 사실이 하나 있다. 수학에서는 보통 새로운 object를 소개하고 나면, 그 대상의 sub-object를 살펴보고, 해당 object사이의 대응관계(보통은 함수)를 살펴본다. Category theory에서도 마찬가지로, category가 무엇인지 정의하고 이에 대한 예를 살펴보았으니, 이제는 category 사이의 대응관계를 살펴볼 차례이다. 이러한 대응관계를 앞으로 functor라고 부르고자 한다. Category는 기본적으로 object와 morphism으로 이루어져 있으니, 두 카테고..

목차 시작하면서... Category 정의 Isomorphism Examples 1 Examples 2 마무리 시작하면서... 범주론이라고도 불리우는 category theory는 현대 수학에서는 없어서는 안 될 강력한 추상화 도구이다. 엔지니어링 사이드에서는 함수형 프로그래밍 등에서도 많이 응용되는 듯 하다. Categories, What's the Point? 가까운 미래에는 여러 프로그래밍 언어를 다뤄보면서 category theory를 접목시킬 기회가 생길지는 모르겠지만, 우선은 수학에서 요긴하게 갖다쓸 수 있도록 study를 진행하고자 한다. Category 정의 Category $\mathcal{C}$는 object와 morphism으로 구성이 되어 있는 대상이다. 좀 더 구체적으로, obje..