유튜브 수학의 즐거움 채널에서 진행하는 기초 대수기하 스터디에 참여하면서 필요한 내용을 공부한 것들을 기록하는데 그 목적이 있다. 디테일을 채우는 기준은 최소한 전체적인 흐름을 놓치지 않는 선이고, 가능한 한 제 자신을 완전히 설득하는데 집중하고자 한다. 수학 전공내용의 상당 부분의 디테일을 잊어먹고 있는 상황이라, 리뷰를 하는 차원에서 디테일을 채워나갈 듯 하다. 이렇게 현재 시점에서 놓치고 있는 디테일들을 이번 대수기하 스터디를 통해서 채울 수 있다고 생각하니 벌써부터 흥미롭다. 기초 대수기하 스터디에서는 이미 녹화되어 있는 복소대수기하 스터디 영상을 공부하는 일이 많을 듯 한데, 이는 해당 채널의 유료 멤버십 멤버들에게만 제공되는 내용이므로 링크를 따로 달지는 않고 (채널지기님의 허락을 받아) 공부한 내용만을 기록하는 형태로 블로그를 채워나가고자 한다.
첫 시작은 갑분 리만-로흐 정리(Riemann-Roch Theorem)으로부터 시작되었다.
Riemann-Roch Theorem
Let $M$ be a compact Riemann surface and $D$ be a divisor in $M$. Then, $$ \dim\mathcal{L}(D) - \dim\mathcal{I}(D) = 1 - g + \deg (D) $$ where $g$ is a genus of $M$ and $$ \begin{aligned} &\mathcal{L}(D) = \{f\in m(M)\::\:(f)+D\ge 0\}\ni\mathbb{I} \\ &\mathcal{I}(D) = \{\omega\text{ meromorphic 1-form }\::\: (\omega)-D\ge 0\}. \end{aligned} $$
처음부터 외계어 파티인데, 무엇을 말하고자 이 theorem부터 얘기를 꺼낸 것일까? 좀 더 봐야할 것 같다.
[채워야 할 디테일]
compact Riemann surface
- topological manifold의 핵심은 locally Euclidean이다. (물론, second countable과 Hausdorff space도 만족해야 한다.) 즉, 전체로 보면 아니지만 locally 보면 Euclidean space라는 의미이다. 여기서 말하는 Euclidean space는 $\mathbb{R}^n$일 수도 있지만 $\mathbb{C}^n$일 수도 있다. 앞으로 별 말 없으면 $\mathbb{C}^n$으로 보도록 한다. 이렇게 $\mathbb{C}^n$과 locally homeomorphic하다면 이를 $n$-dim'l complex manifold라고 한다.
- manifold가 connected라는 것은 무엇인가? topological space로써 connected라는 것은 두 개의 disjoint open sets의 union으로 나타낼 수 없을 때를 말한다. manifold도 당연히 top. space이기 때문에 같은 정의를 따른다.
- compact도 비슷하다. top. space가 compact라는 것은, 임의의 open cover가 finite subcover를 갖는 것을 의미한다. compactness는 connectedness와 함께 고려했을 때 모종의 classification을 가능하게 해준다.
- Riemann surface는 complex dimension one을 갖는 connected complex manifold를 뜻한다. 깔-끔.
divisor
- 이는 대수기하의 언어를 좀 더 쌓은 후 학습하는 것으로 한다.
genus
- connected orientable surface에서 genus란 closed simple curve를 shrinking한 것을 하나의 equiv. class로 보았을 때, 나올 수 있는 서로 다른 equiv. class의 갯수를 말한다. 예를 들어 sphere는 어느 점에서 closed simple curve를 잡아도 모두 한 점으로 귀결되므로 이 때의 genus는 0이고, torus의 경우 크게 바깥쪽으로 잘 돌리면 절대 한 점으로 줄어들 수 없는 curve가 하나 존재하므로 genus는 1이 된다. 이는 흔히 hole의 갯수로 이해할 수 있다.
meromorphic function
- meromorphic function은 complex plane의 open subset 상의 점 중 pole을 제외한 모든 점에서 holomorphic한 함수를 의미한다. meromorphic function은 항상 pole에서 zero를 갖는 holomorphic function을 분모로 하는 두 holomorphic function의 ratio로 나타낼 수 있어서, 이를 보고 우리 말로는 유리형 함수라고도 부른다.
cpt RS는 항상 algebraic하다고 한다. 즉, 적당한 homogeneous polynomials의 zero set으로 나타낼 수 있기 때문에, 어떤 의미에선 cpt RS는 이의 analytic version이라고 볼 수 있다. 어차피 대수기하 하려는 것이고 그런 의미에서 왜 analytic version을 필요로 하는 것인가? 라는 질문에 대해서는, Taylor expansion등의 도구를 활용할 수 있는 여지를 남겨둠으로써 더 고도화 된 추상화를 하기 전에 살릴 수 있는 직관은 계속 가져가고자 하는데 그 목적이 있다고 한다.
그리고 RS는 각 점에서 chart를 갖는데, 이 때 겹치는 영역에 대해서는 transition map이 holomorphic하기를 요구한다는 점에서, smooth manifold가 diffeomorphism을 요구하는데 비해 더 강한 조건을 요구하고 있다는 것을 알 수 있다. 무한번 미분가능 한 것을 넘어서 자신의 테일러 급수로 수렴하기를 바라는 것이니까.
cpt RS는 결국은 orientable surface를 말하고자 하는 것인데, orientable surface는 이미 미분기하로부터 어떻게 다뤄야 할 지를 잘 알고 있다. 바로 Gauss-Bonet이 그 내용이다.
Gauss-Bonet Theorem
Let $M$ be a cpt RS and let $g$ be a genus of $M$. If $M$ has a (Riemannian) metric, then $$ \chi(M) = \int_M \text{ Gauss curvature } / \: 2\pi = 2 - 2g. $$
Gauss-Bonet 정리만 보면 invariants가 genus뿐인데, 그에 비해 Riemann-Roch Theorem은 뭔가 많이 복잡해보인다. 둘 다 결국은 cpt RS에 대한 classification을 주는 것일텐데, 왜 이렇게 다르게 보일까? 두 theorem을 비교하는 관점에서 접근해보자.
우선 Euler characteristic $\chi(M)$은 n-th singular homology group의 rank인 Betti number의 alternating sum으로 이루어졌다고 한다. singluar homology group이 뭔지 모르니까 그런가보다 하고 우선 넘어가자. 여튼, alternating sum이다. Riemann-Roch의 좌변도 alternating sum 형태로 생겼다는 점에서 비슷하다.
이를 좀 더 관찰해보자. sheaf cohomology를 공부하고 나면 자연스럽게 알 수 있는 결과 중 하나로, de Rham theorem이 있다고 한다. smooth manifold $M$을 가지고 온 것은 partition of unity를 허락하는 category이기 때문이라고 한다. 그리고 중간에 있는 cohomology의 $\mathbb{R}$은 $\mathbb{R}$을 constant sheaf로 볼 수 있도록 sheafification한 것이라고 한다. (외계어 파티이니 이건 그런가보다 하고 지나가자.)
de Rham Theorem
Let $M$ be a $C^{\infty}$-mfd. Then, $$ H^i_{sing} (M,\mathbb{R}) \cong H^i(M,\mathbb{R}) \cong H^i_{dR} (M,\mathbb{R}),\quad\forall i$$
[채워야 할 디테일]
partition of unity
- $R$이 topological space $X$의 partition of unity라는 것은 다음의 조건을 만족하는 $X\rightarrow [0,1]$인 continuous functions의 집합이다.: 각 $x\in X$마다
1) 유한개를 제외한 무한개의 $R$을 $0$으로 만드는 neighborhood가 존재한다,
2) $\sum_{\rho\in R} \rho(x) = 1.$ - partition of unity가 유용한 이유는 local structure를 whole space로 확장할 수 있게끔 도와주는 역할을 하기 때문이라고 한다. 앞으로 공부하면서 이 점에 주목해야겠다.
de Rham cohomology
- chain complex란 abelian groups이나 modules들과 이에 대한 homomorphisms로 이루어진 대수적 구조에서 맵을 두 번 태워보내면 vanishing 되는 것을 뜻한다. 즉, 이전 map의 image가 다음 map의 kernel로 들어가는 것을 의미한다. 사이사이 homomorphism의 이름을 모두 같은 이름(예를 들면 $d$)으로 쓰는 경우가 있는데, map을 만드는 구조가 같단 의미에서 indexing을 생략한 것뿐이지 실제로는 함수로써는 모두 다름에 유의해야 한다.
- cohomology는 주어진 chain complex로부터 얻어지는 quotient structure이다. chain complex 정의상 n번째 abelian group이나 module에서는 $n$번째 map의 kernel과 $(n-1)$번째 image를 갖고 있고, $(n-1)$번째 image가 $n$번째 kernel에 포함되기 때문에, kernel을 image로 quotient하여 quotient structure를 얻을 수 있다. 이를 $n$번째 cohomology라 부른다.
- smooth manifold $M$이 주어져 있을 때, 아래와 같은 de Rham chain complex를 생각하자. $$ O\rightarrow\Omega^0_M\xrightarrow{d}\Omega^1_M\xrightarrow{d}\cdots\xrightarrow{d}\Omega^n_M\rightarrow O.$$ 이 때, $\Omega^0_M$은 $0$-form(함수)의 모임이고, $\Omega^k_M$은 $k$-form의 모임이다. 여기서 de Rham cohomology는 다음과 같이 정의된다. $$ H^i_{dR}(M, \mathbb{R})\coloneqq\frac{ \ker(d:\Omega^i_M\rightarrow\Omega^{i+1}_M)}{\mathrm{im}(d:\Omega^{i-1}_M\rightarrow\Omega^i_M)} $$ 여기서 $n$번째 form에서 멈춘 이유는 $M$의 dimension이 $n$이면 그 다음은 무조건 vanishing되기 때문이다.
de Rham theorem으로부터 singular cohomology를 de Rham cohomology로 치환해서 바라볼 수 있다. de Rham theorem에서는 over $\mathbb{R}$로 서술되어 있지만, 이를 over $\mathbb{C}$로 바꾸어도 아무 문제가 없다. 여기서 우리의 Riemann surface는 complex dimension one이므로, 이 때의 Euler characteristic을 생각하면 alternating sum이 항 두 개로 이루어져 있으니, 이런 관점에서 보면 Riemann-Roch theorem의 좌변이 정말로 Euler characteristic과 비슷해보인다. 이게 우연인가? 이를 조합해보자.
Riemann-Roch theorem의 LHS $$ \dim\mathcal{L}(D) - \dim\mathcal{I}(D) $$는 결국 divisor $D$로부터 induced 되는 적당한 sheaf cohomology $H^i(M,D)\:(i=0,1)$의 ranks의 alternating sum이 아닐까? 실제로 맞는 말이고, 이 때의 cohomology는 invertible sheaf로부터 얻어지는 것이라 한다. 즉, LHS는 divisor $D$가 만들어내는 invertible sheaf의 Euler characteristic이란 것이다!
LHS의 $\mathcal{L}(D)$와 $\mathcal{I}(D)$를 계속 de Rham cohomology의 언어로 관찰해보자. 그러면 $H^0(M,D)$는 적당한 함수들의 집합이 될 것이고 $H^1(M,D)$는 적당한 1-form의 집합이 될 것이다. 실제로 $\mathcal{L}(D)$와 $\mathcal{I}(D)$는 각각 특정 조건을 만족하는 meromorphic function의 집합과 meromorphic 1-form의 모임이다. 이 때, divisor $D$란 정말로 무엇이며, manifold 위에서의 meromorphic은 무엇이고, 해당 특정 조건들은 왜 그렇게 생겼는가? 그리고 Riemann-Roch theorem의 RHS의 intuition은 과연 무엇일까?
우선 manifold 위에서의 holomorphic이 무엇인지 알아보자. complex manifold $M$이 주어져 있을 때, $f:M\rightarrow\mathbb{C}$가 holomorphic이라는 것은, 임의의 coordinate chart $(U,\varphi)$에 대하여 $ f\circ\varphi^{-1}|_{\varphi(U)}$가 holomorphic인 것을 뜻한다. 만약 여기서 더 나아가 $M$이 compactness를 가지면, 이 위에서 정의된 holomorphic function은 언제나 constant이다. 그 이유는 크게 두 가지 statement로부터 도출이 가능하다. 1) compact set 위에서 정의 된 continuous function은 bounded이다. 2) (Liouville) bounded holomorphic function은 constant이다. 실제로, $f$가 cpt mfd $M$위에서 정의 된 holomorphic function이라 하면, 임의의 한 chart $(U,\varphi)$를 통해 나온 함수 $g= f\circ\varphi^{-1}|_{\varphi(U)}$가 holomorphic임을 알 수 있다. 이 때 1)에 의해 $f$가 bounded function임을 알고, 이에 따라 $g$ 또한 bounded가 된다. 여기서 $g$는 holomorphic하므로 2)에 의해 $g$가 constant임을 안다. 이제, $M$의 각 점 $p$마다 $p$를 포함하는 chart $(U_p, \varphi_p)$를 고려하자. 그러면 $$ M\subset\bigcup_{p\in M} U_p $$가 된다. 이 때 $M$은 cpt이므로 유한개의 점 $p_1,\ldots,p_k\in M$이 존재하여 $$ M\subset U_{p_1}\cup \cdots \cup U_{p_k} $$가 성립한다. 한편, 위의 논의로부터 각 chart에 정해지는 $g$는 constant임을 알고 있으므로, 각 $U_p$ 위에서 정의되는 $g_p=f\circ\varphi_p^{-1}|_{\varphi_p(U_p)}$는 모두 constant가 된다. 마지막으로 이것이 부분적으로 constant인 것이 아닌 전체적으로 하나의 constant value를 갖는다는 것을 보이고자 한다. 만약 두 chart가 겹친다면 겹치는 부분에서의 함숫값이 잘 정의되기 위해서는 두 chart에 involve된 constant 값은 같아야만 한다. 그렇다면 겹치지 않는 chart가 존재할 수 있을까? 만약 적당한 $p_k$가 있어서 $U_{p_k}$가 다른 open neighborhoods와의 교집합이 없다고 가정해보자. 여기서 $V_1=\cup_{j\neq k} U_j$라 하고 $V_2=U_k$라 하면, $V_1$, $V_2$는 open이고 $M\subset V_1\cup V_2$이면서 $V_1\cap V_2=\emptyset$이 성립한다. 그런데 $M$은 connected이므로 이러한 open sets는 존재할 수 없다. 따라서 겹치지 않는 chart는 존재할 수 없으므로 위에서 찾은 유한개의 점에 연관된 모든 chart 위에서 하나의 공통된 constant 값을 갖는다. 그러므로 $f$ 또한 constant임을 증명하였다.
방금 말한 것처럼 complex-valued holomorphic function은 cpt RS 위에서는 constant이기 때문에 흥미롭지 않다. 하지만 여기서 complex plane에 무한점을 추가해줘서 one-point compactification을 하면 projective space $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$를 얻게 되는데, 이 space로 가는 함수를 생각해주면 non-trivial한 상황에 놓이게 된다. Riemann surface $M$과 $f:M\rightarrow\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$가 주어져 있을 때, $f$가 holomorphic하다는 것은 임의의 chart $(U, \varphi)$에 대하여 $f\circ\varphi^{-1}|_{\varphi(U)}$가 meromorphic하다는 것과 필요충분조건이라고 한다. 즉, 이제는 constant가 아니게 됐다.
manifold 위에서 complex plane으로 보내든 projective plane으로 보내든 holomorphic function이라는 개념은 complex plane 위에서의 holomorphic 및 meromorphic function으로 정의된다는 것에 주목해야 한다. manifold 위라고 거창하게 얘기했지만, 진짜 실체는 그래봐야 complex plane 위에서 정의한 것을 가져다 쓰는 것에 불과하단 뜻이다.
manifold 위에서의 meromorphic function은 노트에서 따로 정의하지는 않았지만 $f:M\rightarrow\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$이 holomorphic 하다는 것은 사실 $f:M\rightarrow\mathbb{C}$가 meromorphic하다는 것이니, 이것도 해결이 되었다.
이제 meromorphic 1-form on $M$이 무엇인지 알아야 한다. $\mathbb{C}$에서의 open set $U$에 대하여 $f$가 meromorphic function on $U$라고 하면, $$ f(z)dz $$를 meromorphic 1-form on $U$라 부른다. 이를 이용하여 manifold 위에서의 meromorphic 1-form도 정의할 수 있다. Riemann surface $M=\cup_{\alpha} (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$이 주어져 있을 때, $\omega$를 meromorphic 1-form on $M$이라고 하는 것은 각 $(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$마다 $$ \omega = f_{\alpha}(z_{\alpha})dz_{\alpha} $$를 만족시키는 meromorphic function $f_{\alpha}:U_{\alpha}\rightarrow\mathbb{C}$이 존재하는 것을 뜻한다. 물론 overlap 되는 부분에서도 문제가 없어야 한다. 즉, $$ f_{\alpha}(z_{\alpha})dz_{\alpha} = f_{\beta}(z_{\beta})dz_{\beta}\text{ on }\varphi_{\alpha}(U_{\alpha})\cap\varphi_{\beta}(U_{\beta}) $$ where $f_{\alpha},f_{\beta}$ are meromorphic on $U_{\alpha},U_{\beta}$, respectively, 가 성립해야 한다.
예를 하나 들어보도록 하자. $$ f(z) = \frac{z}{(z-1)(z-2)} $$ $f$는 meromorphic on $\mathbb{C}$이다. 이 때의 $\mathbb{C}$는 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$의 open subset으로 이해한다. 그러면 $$ f(z)dz = \frac{z}{(z-1)(z-2)} $$는 meromorphic 1-form on $\mathbb{C}$이 된다. 이제 이를 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$의 meromorphic 1-form $\omega$로 확장해보자.
$\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$를 이해하는 방법으로는 complex plane을 one-point compactification 하는 것뿐만 아니라, 두 개의 complex plane으로 각각 남반구와 북반구를 감싸는 방법이 있다. 즉, $$ \begin{aligned} &U_0\coloneqq\{[x:y]\in\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1\::\:y\neq 0\} \\ &U_1\coloneqq\{[x:y]\in\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1\::\:x\neq 0\} \end{aligned} $$ 로 잡으면 $$ \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1 = U_0\cup U_1 $$이 된다. 더 나아가 각 $\varphi_0:U_0\rightarrow\mathbb{C},\:[x,y]\mapsto x/y$와 $\varphi_1:U_1\rightarrow\mathbb{C},\:[x,y]\mapsto y/x$는 homeomorphism이기 때문에, $U_0$와 $U_1$ 각각에서 local coordinate을 고려할 수 있게 된다. 이 때, $U_0$ 위의 점 $[z:1]$과 $U_1$ 위의 점 $[1:w]$는 $zw=1$일 때 동일시 할 수 있기 때문에, 겹치는 부분에서의 대응관계는 $w=\frac{1}{z}$로 주는 것이 타당하다. 이러한 관점에서 local coordinates $(U_0,z)$와 $(U_1,w)$로 이해해보자.
그러면 다시 위의 예에서 $f(z)dz$를 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ 위에서의 meromorphic 1-form으로 확장을 하는 것을 생각해보면, 이미 $(U_0, z)$에서는 표현이 되어있으니 $(U_1,w)$에서만 표현이 가능하면 되겠다. 그런데 지금은 $\omega$로 확장하기 위해 새로운 local coordinate을 꺼내온 것 같지만, 사실은 처음부터 주어졌다고 생각하고 겹치는 부분에서는 $w=\frac{1}{z}$과 같은 coordinate change를 한다고 하면 그만인 것이다. 이러한 관점에서 보면 결국 우리의 $\omega$는 아래의 꼴을 만족해야 한다. $$ \begin{aligned} &\omega|_{U_0} = f(z)dz = \frac{zdz}{(z-1)(z-2)} \\ &\omega|_{U_1} = g(w)dw \end{aligned} $$ 이 때의 $g(w)$는 아래와 같이 계산이 가능하다. $$ f(z)dz = f\bigg(\frac{1}{w}\bigg)d\bigg(\frac{1}{w}\bigg)=-\frac{dw}{w(w-1)(2w-1)} $$ 따라서 구하고자 하는 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ 위에서의 meromorphic 1-form $\omega$는 $$ \bigg\{ \frac{zdz}{(z-1)(z-2)}, -\frac{dw}{w(w-1)(2w-1)} \bigg\} $$ 가 된다.
이제 다음 얘기를 하기 위해 residue를 상기해보자. $\mathbb{C}$의 open set $U$에 대하여, $z=z_0$에서 pole을 갖는 meromorphic function $f:U\rightarrow\mathbb{C}$의 residue $ \mathrm{Res}_{z=z_0} f(z) $는 $z=z_0$에서의 $f$의 Laurent series 전개에서 $\frac{1}{z-z_0}$의 coefficient로 정의했었다. 이제 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ 위에서의 meromorphic 1-form $\omega$를 적당한 chart $(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다. $$ \omega = f_{\alpha}(z)dz $$ 이 때, $f_{\alpha}$는 meromorphic function이므로 $p\in U_{\alpha}$에 대하여 $z(p)=z_0$가 $f_{\alpha}$의 pole이라면 $ \mathrm{Res}_{z=z_0} f_{\alpha}(z) $까지는 위처럼 정의할 수 있다.
그럼 이러한 $p$점에서의 $\omega$의 residue는 어떻게 정의해야 하는가? meromorphic function에서 1-form을 정의했던 것처럼, $$ \mathrm{Res}(\omega;\:p)\coloneqq \mathrm{Res}_{z=z_0} f_{\alpha}(z) $$로 정의하면 안되는가? 이 값은 chart의 dependency가 있는 표현이기 때문에, overlap 되는 부분에서 coordinate change가 일어나도 항상 residue는 같은지 확인해주어야 well-definedness가 성립한다는 걸 알 수 있다. 강의 영상에서는 small o notation을 통해서 증명하였는데, 의미는 이해했으나 과정상 오류가 있는 듯 하다. 고쳐보려고 했으나 small o의 미묘한 부분들이 있어 우선은 해당 부분의 증명은 스킵하고 넘어가도록 하겠다.
이를 이용하면 다음과 같은 proposition을 보일 수 있다. $M$을 cpt RS라고 하고 $\omega$를 meromorphic 1-form on $M$이라고 하면, $$ \sum_p \mathrm{Res}(\omega\:;\:p) = 0 $$이 된다. 증명은 Stokes' theorem을 이용하여 보일 수 있다. 여기서 증명을 적지는 않겠다.
이제, Riemann-Roch theorem에서 말했던 집합들의 특정 조건들을 알아볼 차례다. $M$이 Riemann surface이고 $f\in m(M)$, $p\in M$일 때, $p$점에서의 $f$의 index $v_p(f)$를 다음과 같이 정의한다.: $p$ 근방에서 $z(p)=0$이 되게끔 하는 local coordinate $(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$를 하나 고른다. 만약 $f$가 $z=0$에서 holomorphic이라면 $$ f(z) = z^m h(z) $$ where $h$ is holomorphic at $z=0$ with $h(0)\neq 0$ for some $m\in\mathbb{Z}$ 라 쓸 수 있는데, 이 때 $$ v_p(f) \coloneqq m\ge 0 $$으로 정의한다. 비슷하게 $f$가 $z=0$을 pole로써 가진다면, $$ f(z) = \frac{h(z)}{z^m} $$ where $h$ is holomorphic at $z=0$ with $h(0)\neq 0$ for some $m\in\mathbb{Z}$라 쓸 수 있고, 이 때 $$ v_p(f) \coloneqq -m \le 0 $$으로 정의한다. local coordinates가 overlap 되는 구간에서 체크해보면 coordinate change가 일어나도 $m$의 값은 변하지 않음을 알 수 있다고 한다. 따라서 $v_p(f)$는 well-defined 되어있다.
이제 $M$에 cpt 조건을 추가로 건다. 그러면 $f\in m(M)\setminus \{0\}$에 대하여, $$ \sum_p v_p(f) = 0 $$이 된다고 한다. integer value인 index 값이 모두 더해서 0이 된다는 정보는 꽤 algebraic 해보인다. 실제로 해당 대상은 어떤 map의 kernel로도 볼 수 있다고 한다. 증명은 방금 위에서 언급한 residue에 관한 proposition을 이용한다. 실제로 meromorphic 1-form $\omega$를 $$ \omega = \frac{df}{f} $$로 정의한다. 그러면 $f$는 $z=0$에서 zero나 pole을 가지게 될 것이다. 만약 zero로 가진다면, $f(z) = z^m h(z)$ where $h$ is holomorphic at $z=0$ for some $m\in\mathbb{Z}$라 쓸 수 있고, 이를 이용하여 실제로 계산해보면 $$ \frac{df}{f} = \frac{mz^{m-1}hdz + z^mdh}{z^mh} = \frac{m}{z}dz + \frac{dh}{h} $$이므로 $$ \mathrm{Res}\bigg(\frac{df}{f}\bigg) = m $$이 된다. 비슷하게 pole로 가진다고 해도 $f(z) = h(z) / z^m$으로 쓰고 계산하면 $$ \mathrm{Res}\bigg(\frac{df}{f}\bigg) = -m $$을 얻는다. 한편, complex manifold 위의 임의의 점 $p$마다 $z(p)=0$이게끔 하는 local coordinate을 잡으면, 위 residue와 관련한 proposition과 더불어서 아래의 결과를 얻는다. $$ \sum_p v_p(f) = \sum_p \mathrm{Res}\bigg(\frac{df}{f}\:;\:p\bigg) = 0. $$ ($z(p)=0$인 local coordinate은 실제로 항상 잡을 수 있다. 임의의 chart를 $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$라고 하면, 새로운 chart를 $\psi:U\rightarrow\mathbb{C}$ defined by $\psi(x)\coloneqq\varphi(x)-\varphi(p)$로 주면 된다.)
index에 대해서 다룬 후 드디어 divisor로 넘어간다. RS 각 위의 점마다 index라고 하는 integer value를 assign 해놨기 때문에, 이를 활용할 수 있는 setting의 일환으로 divisor를 다음과 같이 정의한다.: $$ D=\sum_{p\in M} n_p\cdot p $$ where $n_p\in\mathbb{Z}$ and $n_p=0$ except finite. 예를 들면 divisor는 $D=p,\:p-q,\:2p-4q+r$등의 formal sum이 된다. cpt RS에서 유의미한 summand가 유한개이길 바라기 때문에 유한개를 제외한 나머지 term은 vanishing되게끔 한다고 한다. 나중에 이를 일반화하면 각 점마다 prime ideal로 볼 수 있는 듯 하다. 어쨌든 이러한 divisor의 모임 $\tilde D$는 자연스럽게 abelian group structure를 갖는다. 이로부터 함수 $\deg:\tilde D\rightarrow\mathbb{Z}$를 $D=\sum_p\:n_p\cdot p\mapsto \sum_p n_p$로 정의해주면, 이는 group homomorphism이 된다.
더 나아가 $M$이 cpt RS이고 $f\in m(M)$일 때, $f$의 principal divisor $(f)$는 다음과 같이 정의된다.: $$ (f) \coloneqq \sum_{p\in M} v_p(f)\cdot p. $$ 그러면 위 index의 sum이 $0$이 된다는 statement는 degree map의 언어로 다시 말하면 $$ (f)\in\ker\deg,\quad\forall f\in m(M) $$이라 할 수 있다. 또, $P=\{(f)\::\:f\in m(M)\setminus\{\text{consts}\} \}$라고 하면 $$ (f)+(g)=(f\cdot g),\quad -(f)=\bigg(\frac{1}{f}\bigg) $$이므로 이로부터 $P$가 $\tilde D$의 subgroup이 됨을 안다. 이 $P$를 이용하여 $\tilde D$에 equivalence relation $\sim$를 다음과 같이 줄 수 있다. $$ D_1\sim D_2\:(\text{linearly equivalent})\Longleftrightarrow D_1-D_2\in P $$ 이러한 relation은 $P$에 의한 coset을 만들어주는 것과 같으므로, 정확히 $\tilde D$ 상에서 $P$만큼을 같은 것으로 보는 quotient group $D\coloneqq \tilde D/\sim$을 만들어줄 수 있다. 그러면 위에서 정의했던 degree map을 이 quotient group으로 induce해주면 $\deg:D\rightarrow\mathbb{Z}$ 또한 잘 정의가 된다. ($P$가 $\ker\deg$에 포함되기 때문) 앞으로는 degree map이라고 하면 이 quotient group에서 출발하는 map을 지칭하는 것으로 한다. (즉, principal divisor만큼의 차이는 고려하지 않기로 한다.)
이제 다시 초반부에 언급했던 집합을 다시 가져와보자. divisor $D$에 대하여 $$ \mathcal{L}(D) = \{ f\in m(M)\::\: (f)+D\ge 0\}. $$ 이제는 좀 읽힌다. 즉, cpt RS 위에서는 유한개의 pole 및 zero를 갖게 되고, 따라서 이 위에서 정의된 principal divisor는 문제없이 잘 계산이 된다. $D$ 또한 유한개를 제외한 나머지에서는 coefficient가 $0$인 상황이다. 이를 종합하여 만들어진 $(f)+D\ge 0$이라는 것은 각 $p$마다 대응되는 coefficient가 nonnegative라는 뜻이라고 한다. 이러한 divisor의 condition을 effective divisor의 condition이라고 한다.
이제 나머지 반쪽, meromorphic 1-form에 대한 divisor를 정의해보자. $M$이 cpt RS이고 $\omega$가 meromorphic 1-form on $M$일 때, $$ (\omega) \coloneqq \sum_{p\in M} v_p(f_{\alpha})\cdot p $$를 $\omega$의 canonical divisor라 부른다. 이 때, $f_{\alpha}$는 local coordinate을 지칭하는 표현이다. 만약 $\omega_1$과 $\omega_2$가 각각 meromorphic 1-form이라면, 같은 local coordinate을 택했을 때, $\omega_1=fdz$, $\omega_2=gdz$로 쓸 수 있을 것이다. 그러면 사실 $\omega_1/\omega_2$는 $dz$ part가 사라지면서 meromorphic function이 된다. 그런데 $\omega_1 = \omega_2\cdot \omega_1/\omega_2$이므로 $$ (\omega_1)=(\omega_2)+\bigg(\frac{\omega_1}{\omega_2}\bigg) $$가 됨을 알고, 위의 equiv. relation의 언어로는 $$ (\omega_1)\sim(\omega_2) $$가 된다. 따라서 canonical divisor는 equiv. class로써 같은 것을 의미한다. $$ [(\omega_1)]=[(\omega_2)]=: K$$ principal divisor의 경우 quotient group 내에서는 어차피 모두 zero이므로 zero로써 linearly equivalent하다 할 수 있지만, canonical divisor의 경우는 vanishing되지 않더라도 equiv. class로써 같음을 보장할 수 있다는 차이점이 있다.
다시 Riemann-Roch theorem의 나머지 반쪽을 가져와보자. divisor $D$에 대하여 $$ \mathcal{I}(D)\coloneqq\{\omega\::\:(\omega)-D\ge 0\} $$이 있었다. 해당 집합의 조건에 쓰여 있었던 것은 다름 아닌 canonical divisor였던 것이다. 이렇게 잡은 $\mathcal{L}(D)$와 $\mathcal{I}(D)$는 각각 $\mathbb{C}$-vector space가 되므로 dimension을 정의할 수 있고, 그것이 바로 Riemann-Roch theorem의 식의 좌변이 된다.
이제 마지막으로 cpt RS에 대한 Riemann-Roch theorem의 geometric view를 보도록 하자. (여기야 말로 완전 외계어 파티라 일단 필사를 해보았다.) $M$을 genus $g$인 cpt RS라고 하고 $D$를 $\deg D= d$인 effective divisor라고 하자. (즉, 모든 coefficient가 nonnegative) 그러면 canonical divisor $K$(아까 equiv. class로 나왔던 것)가 define하고 있는 $0$-th sheaf cohomology에 대해서 vector space로써 dual을 취해준 것을 integer lattice에 대한 first cohomology로 quotient 시켜준 것을 Jacobi variety라 부른다. $$ J(M) \coloneqq H^0(M,K)^*/H_1(M,\mathbb{Z}) $$ (엄청 복잡해 보이는데 사실은 torus를 흉내낸 것이라고 한다.) 더 나아가 $M$을 $d$번 symmetric product 한 것을 $M^{(d)}$라 쓰면 Abel-Jacobi map $\pi : M^{(d)}\rightarrow J(M)$을 정의할 수 있다고 한다. 이 때 이 map은 holomorphic이라고 한다. (mapping이 구체적으로 어떤지는 모르겠다.) Abel's theorem에 의하면 fiber (one point의 inverse image) 중에서 $D$를 포함하고 있는 것은 언제나 $D$에 의하여 만들어지는 $0$번째 sheaf cohomology의 projectivization이라고 한다. 그리고 이건 사실은 linear series $|D|$라고 한다.
조금만 더 나아가보자. $|D|$는 projectivization이기 때문에 dimension을 $1$ 깎는다고 한다. 즉, $$ \dim (H^0(M,D)) = 1 + \dim |D| $$가 되고, 이 때 fiber의 입장에서 보면 fiber의 dimension은 정의역의 dimension에서 공역의 dimension을 뺀 것보다 커야한다고 한다. 따라서 아래의 부등식이 성립해야 한다. $$ \dim |D| \ge \dim M^{(d)} - \dim J(M) = d- g $$ 그런데 $\dim (H^0(M,D))$는 $\mathcal{L}(D)$의 dimension이므로 위 식을 모두 종합하면, $$ \dim (H^0(M,D)) \ge 1 - g + d $$를 얻게 되고, 이것이 바로 Riemann-Roch theorem의 우변을 말해준다. 여기서는 $\mathcal{I}(D)$가 없는데, 그래서 이를 asymtotic Riemann-Roch라고 부른다고 한다.
아아~~ 외계어 파티인데 알고 싶다! 이렇게 첫 글을 마친다.