수학 기록지

목차 시작하면서... Category of presheaves 정의 Yoneda embedding 정의 Yoneda lemma Yoneda lemma 의미 Yoneda lemma 증명 Corollary 1 Corollary 2 마무리 시작하면서... 이번 포스팅에서는 yoneda lemma와 이에 관련한 corollary 몇가지를 살펴보고자 한다. yoneda lemma 및 yoneda embedding이 어떤 의미가 있는지에 대해 나의 생각을 적어놓고자 한다. Category of presheaves 정의 $\mathcal{C}$를 category라고 하자. 이 때 $$\mathcal{C}^{\wedge}:=Fct(\mathcal{C}^{op},\mathtt{SETS})$$ 를 the category ..

목차 Intro 용어들 BlockChain, Pow Network Staking, Pool, PoS Wallet 개인 지갑으로 코인 송금하기 Long, Short 마무리 Intro 평소에 애매하게만 알고 있었던 코인 세계의 용어를 정리하고자 한다. 어제 지인들과 대화하면서 나름 정리가 되었다고 판단하여, 잊지 않기 위해 블로그에 기록한다. 용어들 우리는 보통 코인을 거래소를 통해 구매한다. 그런데, 이 코인은 어디에 있는 것이고, 구매를 한다는 것은 무엇이며, 이런 것과 흔히 말하는 채굴이라는 과정은 어떠한 연관성이 있는가? 이를 이해하기 위해서는 코인 세계의 전반적인 틀을 이해할 필요가 있다. BlockChain, PoW 코인 생태계도 block chain 기술을 기반으로 돌아간다는 말은 많이 들어보았..

목차 시작하면서... Category of functors 정의 Equivalence of categories 정의 Theorem Examples 마무리 시작하면서... 이후 Yoneda lemma를 비롯한 좀 더 많은 내용을 다루기 위해서는 equivalence of categories의 개념을 알아야 한다. 점점 추상화가 고도화되는데, 중간에 길을 잃지 않도록 계속해서 신경을 써야할 것 같다. Category of functors 정의 두 개의 category 사이의 functor는 결코 하나가 아니다. 이러한 functor들을 다루기 위해서는 해당 functor들이 사는 category를 생각하는 것이 자연스러워 보인다. $\mathcal{C}$와 $\mathcal{D}$가 category라고 하자..

목차 시작하면서... Natural transformation 정의 Examples 마무리 시작하면서... 드디어 natural transformation에 대해 다룰 시간이 왔다. 정의가 다소 복잡하여 처음에는 이해하기 어려웠으나, 사실 지금도 이해했다고 하면 과장된 것 같지만, 어쨌든 내 나름의 방식대로 이해를 해보았다. 지나고 보면 알고 난 후에는 별게 아닐지라도, 이러한 과정들이 굉장히 값진 과정이라는걸 알기에 기록으로 남겨둔다. 보통 natural transformation을 확인하는 것은 막상 쓰기에는 꽤 귀찮은 작업이어서 책의 저자들은 대부분 이를 생략한다. 본 포스팅에서는 좀 귀찮긴 하지만 기록용이니까 풀이를 가능한 한 감추지 않으려고 한다. Natural transformation 정의 ..

목차 시작하면서... Functor 정의 Examples 1 Faithful, Full, Fully faithful functors Examples 2 마무리 시작하면서... 내 짧은 수학적 경험만으로도 알 수 있는 사실이 하나 있다. 수학에서는 보통 새로운 object를 소개하고 나면, 그 대상의 sub-object를 살펴보고, 해당 object사이의 대응관계(보통은 함수)를 살펴본다. Category theory에서도 마찬가지로, category가 무엇인지 정의하고 이에 대한 예를 살펴보았으니, 이제는 category 사이의 대응관계를 살펴볼 차례이다. 이러한 대응관계를 앞으로 functor라고 부르고자 한다. Category는 기본적으로 object와 morphism으로 이루어져 있으니, 두 카테고..

목차 시작하면서... Category 정의 Isomorphism Examples 1 Examples 2 마무리 시작하면서... 범주론이라고도 불리우는 category theory는 현대 수학에서는 없어서는 안 될 강력한 추상화 도구이다. 엔지니어링 사이드에서는 함수형 프로그래밍 등에서도 많이 응용되는 듯 하다. Categories, What's the Point? 가까운 미래에는 여러 프로그래밍 언어를 다뤄보면서 category theory를 접목시킬 기회가 생길지는 모르겠지만, 우선은 수학에서 요긴하게 갖다쓸 수 있도록 study를 진행하고자 한다. Category 정의 Category $\mathcal{C}$는 object와 morphism으로 구성이 되어 있는 대상이다. 좀 더 구체적으로, obje..

안녕하세요. 지난 게시글에 이어 이번에는 subgroup에 대해 알아보도록 하겠습니다. 지금은 group theory를 하고 있지만 많은 경우에 좀 더 추상적인 관점에서 소개를 할 예정입니다. 가까이서 보면 전체를 파악하기 어렵지만 한걸음만 뒤로 가서 봐도 전체를 알기 쉬운 것처럼 말이죠. 1. subgroup이란? 오늘의 주인공은 subgroup입니다. 보통 수학적 대상 앞에 sub라는 prefix가 붙으면 해당 object의 성질을 그대로 물려받는 센스가 숨어있습니다. group이 무엇이었나요? 집합인데, 이항연산 하나를 가지고 있으면서 결합법칙을 만족하고 항등원 및 역원을 갖는 대상이었습니다. 그렇다면 subgroup은 어떻게 정의가 될까요? 주어진 group의 부분집합이 다시 group이 되면 이..

안녕하세요. 오늘부터 시간이 될 때 조금씩 학부 현대대수학 얘기를 적고자 합니다. 첫 번째 이야기는 group입니다. 우리 말로는 군이라고 하고요. group의 정의를 이야기하기에 앞서, 대수학이라는게 무엇을 하고자 하는 것이며, 그 이야기의 시작이 왜 group인지 얘기해보고자 합니다. 1. 대수학은 무엇? 수학을 공부하시는 분들마다 견해가 다를 수 있지만, 제가 생각하는 대수학은, 집합 위에 연산을 주고 어떤 일이 일어나는지 관찰하고자 하는 것에 그 목적이 있다 생각합니다. 여기서의 연산이라 함은 이항연산을 뜻하기도 하고, 때로는 스칼라곱을 뜻하기도 합니다. 혹은 그 외의 다른 것일수도 있고요. 다른 수학의 과목들과 연관지어 보면, 대수학은 직관을 서술하는 언어로써의 역할도 합니다. 예를 들어 우리가..