[Algebra] 1. Groups

안녕하세요.

 

오늘부터 시간이 될 때 조금씩 학부 현대대수학 얘기를 적고자 합니다.

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첫 번째 이야기는 group입니다. 우리 말로는 군이라고 하고요.

group의 정의를 이야기하기에 앞서, 대수학이라는게 무엇을 하고자 하는 것이며, 그 이야기의 시작이 왜 group인지 얘기해보고자 합니다.

 

1. 대수학은 무엇?

수학을 공부하시는 분들마다 견해가 다를 수 있지만, 제가 생각하는 대수학은, 집합 위에 연산을 주고 어떤 일이 일어나는지 관찰하고자 하는 것에 그 목적이 있다 생각합니다. 여기서의 연산이라 함은 이항연산을 뜻하기도 하고, 때로는 스칼라곱을 뜻하기도 합니다. 혹은 그 외의 다른 것일수도 있고요. 다른 수학의 과목들과 연관지어 보면, 대수학은 직관을 서술하는 언어로써의 역할도 합니다. 예를 들어 우리가 고등학교를 다닐 때 원을 보고 평면 상의 한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합으로도 보지만, 실제로 이를 다룰 때에는 원의 방정식 형태로 치환하여 다루었습니다.

 

2. group이란?

그럼 이러한 이야기의 시작에는 어떤 대상이 가장 좋을까요? 아마도 가장 간단한 형태를 다루는게 순서일겁니다. 즉, 이항연산이 하나만 주어진 집합을 바라보는 것이 가장 자연스럽습니다. 이 연산이 associativity(결합법칙)를 만족하고 identity(항등원)와 inverse(역원)를 가지면 우리는 이를 group이라고 합니다. 무언가 꽤 많은걸 요구하는 것 같지만, 연산이 하나 주어진 이상 최소 이정도는 만족해주었으면 좋겠어~ 하는 정도의 조건들입니다. 우리는 결합법칙이 되지 않는 연산을 생각해본 적이 없고 (물론 수학에서는 결합법칙이 성립하지 않는 대상에 대해서 다루고 있는 사람들도 있습니다. 최소 저는 관심이 없습니다.) 항등원도 응당 있어야 할 것 같습니다. 역원은 때로는 존재하지 않을 수 있는데, 우선 group이라는 대수적 object는 이를 항상 갖길 원합니다. 

 

3. group의 예는?

group의 예는 어떤 것이 있을까요? 사실 우리는 때때로 이미 너무 많은걸 알고 있어서 쉬운걸 놓치곤 합니다.

 

1) 정수들을 모아놓은 집합 $\mathbb{Z}$에 더하기라는 이항연산을 생각해볼까요? 더하기는 어떤가요. 결합법칙은 너무 당연히 되고, 덧셈에 대한 항등원은 $0$, 정수 $n$에 대한 덧셈에 대한 역원은 $-n$으로, 이는 다시 정수가 되기 때문에, 정수집합 위에 이러한 덧셈을 주면 group이 됨을 쉽게 알 수 있습니다. 사실 이 덧셈은 좀 더 좋아서, $a+b=b+a$를 만족하죠. 우리는 이를 commutativity(교환법칙)라고 합니다. 만약 group이 이러한 commutativity를 만족하면, 우리는 이 group을 abelian group이라고 합니다. 다시 말해, 정수집합 $(\mathbb{Z},\:+)$은 abelian group입니다.

 

2) 선형대수를 공부하신 분들이라면 vector space의 존재를 알고 계실겁니다. Vector space $V$는 이항연산 $+$와 스칼라곱 $*$을 갖는 대수적 대상이죠. 여기서 스칼라곱을 제외하고 덧셈만 보면, 즉, $(V,\:+)$는 abelian group임을 확인할 수 있습니다. 우리는 이미 abelian group을 알고 있었네요.

 

3) 이정도면 다 교환이 되는거 아니야? 라고 생각하실 수 있는데, 세상이 그리 녹록치 않습니다. $n\times n$ real invertible matrix를 모아놓은 공간을 생각해봅시다. 여기에 곱셈을 주면 어떨까요? 여기서의 곱셈은 우리가 익히 알고 있는 행렬끼리의 곱셈입니다. 요리조리 확인해보면 이 집합에 곱셈을 준 것 또한 group이 되는 것을 확인할 수 있습니다. 이 때 group이 되기 위해선 invertibility가 아주 중요하게 쓰여야 함을 확인하세요. 또한, 우리는 이미 행렬끼리의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않는 것을 알고 있죠. 즉, 이 group은 non-abelian group의 대표적인 예시가 됩니다.

 

4) 후에 symmetric group이라는 것을 얘기할 순간이 올텐데, 이 group 또한 아주 대표적인 non-abelian group입니다. 가까운 미래에 다루도록 하겠습니다.

 

4. 다음 이야기는?

대수학에서는 항상 어떤 새로운 algebraic object를 정의하고 나면, 이 object의 sub object는 무엇인지, 이 object끼리의 관계는 어떠한지 알고 싶어합니다. 선형대수학에서도 vector space를 정의했고, subspace를 살펴봤으며, vector space 사이의 구조를 보존해주는 함수인 linear map을 정의하고 다룹니다. 이러한 전개 방식은 현재 우리의 이야기에서도 유효하며, 앞으로 그 순서대로 이야기를 해나가 보도록 하겠습니다. 즉, 다음 이야기는 group의 sub object인 subgroup입니다. 대수학에서 말하는 sub object의 의미를 다루는데 초점을 맞출 예정입니다.

 

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