안녕하세요.
지난 게시글에 이어 이번에는 subgroup에 대해 알아보도록 하겠습니다.
지금은 group theory를 하고 있지만 많은 경우에 좀 더 추상적인 관점에서 소개를 할 예정입니다.
가까이서 보면 전체를 파악하기 어렵지만 한걸음만 뒤로 가서 봐도 전체를 알기 쉬운 것처럼 말이죠.
1. subgroup이란?
오늘의 주인공은 subgroup입니다. 보통 수학적 대상 앞에 sub라는 prefix가 붙으면 해당 object의 성질을 그대로 물려받는 센스가 숨어있습니다. group이 무엇이었나요? 집합인데, 이항연산 하나를 가지고 있으면서 결합법칙을 만족하고 항등원 및 역원을 갖는 대상이었습니다. 그렇다면 subgroup은 어떻게 정의가 될까요? 주어진 group의 부분집합이 다시 group이 되면 이를 subgroup이라 합니다. 어찌보면 당연한 말이죠. 여기서 가장 중요한 것은 집합으로써만 sub- 가 아니라, 대수적 대상으로써의 sub- 를 정의하는 중이기 때문에, 모체가 갖고 있는 연산을 물려받아서 다시 group이 되어야 합니다.
물려받는다는 말을 조금만 더 자세히 해보겠습니다. 원래 집합 G에서 정의 된 이상연산이라 함은, $*:G\times G\rightarrow G$인 함수를 뜻합니다. G에 있는 원소 두 개를 받아서 연산을 하면 다시 G의 원소가 되어야 하는데, 이는 $(g,h)\in G\times G$마다 함숫값 $*(g,h)=:g*h$를 생각하는 것과 같죠. 이러한 G의 연산을 물려받는다는 것은, 이 함수를 부분집합 H로 제한하면 H의 연산이 되길 바란다는 뜻입니다. 즉, G의 연산 $*:G\times G\rightarrow G$를 부분집합 H로 restriction하면 $*|_{H\times H}:H\times H\rightarrow G$인데, 이 restriction의 공역이 G가 아닌 H이길 바라는 것이죠. 보면 아시겠지만 정의역을 제한하는 것은 subset만 가지고 오면 언제든지 할 수 있는 작업이지만, 공역까지 제한할 수는 없다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이렇게 H로 G의 연산을 restriction 시켰을 때 공역 또한 H가 되면 우리는 이를 연산에 대해 닫혀있다, 라고 합니다. 중고등학교 때 한번쯤은 들어보셨을 것입니다.
subgroup의 정의를 다시 보면, 주어진 group $(G,*)$과 $\emptyset\neq H\subset G$에 대해 H가 G의 subgroup이라 하는 것은, 우선 H가 G의 연산을 물려받고, 그 연산으로 결합법칙을 만족하며 항등원 및 역원이 다시 H에 존재하게 할 수 있을 때, $(H,*)$를 $(G,*)$의 subgroup이라 하는 것입니다.
2. subgroup test
자, 처음에 subgroup이라고 하면, 그냥 subset이 다시 group이 되면 되는거 아니야? 라고 쉽게 생각하셨을 수도 있는데, 이렇게 하나하나 뜯어보니 생각보다 만만치 않아 보입니다. 연산에 대해 닫혀있는지, 결합법칙은 성립하는지, 항등원은 있는지, 역원도 있는지, 확인을 해봐야겠죠. 하지만 사실 subset이면서 연산에 대해 닫혀있기만 해도 꽤 많은 정보들이 들어가 있습니다. 사실, subgroup을 판단하기에 이 두 가지의 정보만으로도 충분합니다. 즉, 다음의 정리가 성립합니다: group G와 공집합이 아닌 부분집합 H에 대하여
$$\text{H is a subgroup of G}\Longleftrightarrow gh^{-1}\in H\text{ for all } g,h\in H$$
증명은 이 링크(proofwiki.org/wiki/One-Step_Subgroup_Test)를 참조하세요.
3. subgroup의 예
1) $(\mathbb{Z},+)$는 abelian group입니다. 이 group의 subgroup으로는 n의 배수의 집합인 $n\mathbb{Z}:=\{nx\::\:x\in\mathbb{Z}\}$가 있습니다. 다른 subgroup은 무엇이 있을까요? 사실 $\mathbb{Z}$의 subgroup은 $n\mathbb{Z}$ 뿐이랍니다. 이에 관해서는 다음에 cyclic group을 다룰 때 더 자세히 말하겠습니다. 아, 아래에서 아주 잠시만 다루도록 하죠.
2) group G와 $g\in G$에 대하여 $(g):=\{g^n\::\:n\in\mathbb{Z}\}$로 정의해봅시다. 여기서 $g^n$은 g를 n번 연산했다는 뜻입니다. n이 음수라면 g의 inverse를 갖고 연산한 것이죠. 이렇게 만들어진 $(g)$는 자연스럽게 $G$의 subgroup이 되는데, 이를 cyclic subgroup이라고 부르고 이 때의 g를 generator라고 부릅니다. cyclic subgroup은 generator가 하나인 subgroup인 것이죠. 이런 의미에서 위 예를 다시 보면, $\mathbb{Z}=(1),\:n\mathbb{Z}=(n)$임을 확인할 수 있습니다. 여기서는 연산이 더하기니까, $g^n$은 g를 n번 더한다는 뜻이 됩니다. cyclic group의 subgroup은 cyclic 뿐인가?
3) 유리수 집합을 보통 $\mathbb{Q}$, 실수의 집합을 $\mathbb{R}$이라고 쓰는데요. 덧셈에 대한 group으로 바라보면, $(\mathbb{Q},+)$는 $(\mathbb{R},+)$의 subgroup입니다.
4) 복소수의 집합은 $\mathbb{C}$로 씁니다. 복소수는 덧셈에 대해서도 group이 되지만 곱셈에 대해서도 group이 되는걸 쉽게 알 수 있습니다. 이제 다음과 같은 집합을 생각해봅시다: $U_n\:=\{z\in\mathbb{C}\::\:|z|=1\}$. 여기서 복소수 z에 대해 $|z|$라는 것은 복소수의 크기를 의미합니다. 이렇게 정의한 $U_n$은 곱셈에 대한 group $\mathbb{C}$의 subgroup입니다. subgroup test를 적용해보세요.
간단하게 subgroup에 대해서 살펴보았는데요. 제가 이 글에서 전하고 싶었던 것은 대수에서 말하는 sub의 의미였습니다. 집합의 단위에서 sub는 원소의 일부를 갖고 있는 대상으로, 대수적 대상 단위에서의 sub는 갖고 있는 연산을 물려받는 대상이죠.
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