수학 기록지

목차 시작하면서... Limit Definition of limit Step 1 Step 2 Universal property of limit Colimit Definition of colimit Universal property of colimit Examples Product and Coproduct Initial and Terminal object Kernel and Cokernel Right adjoint is continuous Definition of continuous and cocontinuous Observation Proof Example 마무리 시작하면서... 대수기하를 하는데 필요한 category theory의 마지막 concept으로써 limit과 colimit에 대해 알아보도록..

목차 시작하면서... Product Definition Representability and Universal property Terminal object Coproduct Definition Representability and Universal property Initial object Examples Category of abelian groups Category of topological spaces 마무리 시작하면서... 이번 posting에서는 product와 coproduct에 대해서 다뤄본다. 이는 앞으로 다룰 limit과 colimit의 special case가 된다. Product Definition Index set $I$와 category $\mathcal{C}$가 주어졌다고 하자...

목차 시작하면서... Product category, Bifunctor Product category Bifunctor Adjoint pair Definition Remark Examples free functor tensor functor and hom functor scalar extension and restriction localization group ring and G-module 마무리 시작하면서... 이번 포스팅에서는 대수 공부할 때 알게모르게 쓰였던 adjoint pair에 관하여 다뤄보고자 한다. Product category, Bifunctor Product category 두 category $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$이 주어졌다고 하자. $\mathcal{..

목차 시작하면서... Representable functor 정의 Examples Tensor product Product of sets 마무리 시작하면서... 지난 포스팅에서는 Yoneda lemma를 다루며 hom functor가 생각보다 꽤 중추적인 역할을 하고 있음을 알았다. 어떤 의미에서는 우리가 구체적으로 아는, 나름 general하면서도 구체적으로 아는(이 말이 모순인가? ㅎㅎ) functor는 hom functor 뿐인 것 같다. 그래서 주어진 functor가 hom functor와 naturally isomorphic 한지를 보아 해당 functor를 이해하려는 노력을 하는데, 여기서부터 representation of a functor가 등장한다. Representable functor..

목차 시작하면서... Category of presheaves 정의 Yoneda embedding 정의 Yoneda lemma Yoneda lemma 의미 Yoneda lemma 증명 Corollary 1 Corollary 2 마무리 시작하면서... 이번 포스팅에서는 yoneda lemma와 이에 관련한 corollary 몇가지를 살펴보고자 한다. yoneda lemma 및 yoneda embedding이 어떤 의미가 있는지에 대해 나의 생각을 적어놓고자 한다. Category of presheaves 정의 $\mathcal{C}$를 category라고 하자. 이 때 $$\mathcal{C}^{\wedge}:=Fct(\mathcal{C}^{op},\mathtt{SETS})$$ 를 the category ..