수학 기록지

이번 시간에는 수학적 귀납법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 수학적 귀납법은 많은 사람들이 고등학교때부터 마치 공리인 것처럼 받아들이고 있지만, 실제로는 공리가 아닌 증명이 필요한 정리입니다. 정리 내용은 다음과 같습니다.: Thm (Mathematical Induction) Let $P(n)$ be a statement for $n\in\mathbb{N}$. If 1) $P(1)$ is true, and 2) $P(k)$ is true $\Rightarrow P(k+1)$ is true, then $P(n)$ is true for all $n\in\mathbb{N}$. 수학적 귀납법은 자연수에 대한 명제가 주어져 있을 때, 해당 명제가 모든 자연수에 대해서 성립하는 것을 확인하고 싶을 때 쓰는 정리입니..

저에게 있어 해석학은 정말 애증의 대상 그 자체였습니다. 해석학을 처음 배웠던 것이 대학교 2학년 무렵이었는데, 그 때만 해도 수학에 대한 감은 전혀 없는채로 전공수학의 맛을 봐야만 했습니다. 나름 공부는 열심히 하던 학생이었기에 계속 그렇게만 하면 되는 것이라 착각하며 살아갔었는데, 해석학 또한 예외는 아니었습니다. 그 당시 해석학 교수님이 문제를 내는 스타일은 책을 통째로 외우면 점수가 높게 나오는 것이었기에, 이해가 전혀 수반되지 않은 채로 무지성으로 외워서 점수를 만들었던 기억이 있습니다. 이후 학부 기간동안엔 해석학이 나오기만 하면 도망다녔고, 대학원에 가서도 해석학 때문에 너무나 많은 고생을 했었습니다. 즉, 그저 증오의 대상이었을 뿐이었습니다. 한편, 대수학을 전공하면서, 다소 비대칭적이지만..

유튜브 수학의 즐거움 채널에서 진행하는 기초 대수기하 스터디에 참여하면서 필요한 내용을 공부한 것들을 기록하는데 그 목적이 있다. 디테일을 채우는 기준은 최소한 전체적인 흐름을 놓치지 않는 선이고, 가능한 한 제 자신을 완전히 설득하는데 집중하고자 한다. 수학 전공내용의 상당 부분의 디테일을 잊어먹고 있는 상황이라, 리뷰를 하는 차원에서 디테일을 채워나갈 듯 하다. 이렇게 현재 시점에서 놓치고 있는 디테일들을 이번 대수기하 스터디를 통해서 채울 수 있다고 생각하니 벌써부터 흥미롭다. 기초 대수기하 스터디에서는 이미 녹화되어 있는 복소대수기하 스터디 영상을 공부하는 일이 많을 듯 한데, 이는 해당 채널의 유료 멤버십 멤버들에게만 제공되는 내용이므로 링크를 따로 달지는 않고 (채널지기님의 허락을 받아) 공부..

선형대수 마지막 포스팅으로 SVD와 PCA에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 우선 SVD를 소개해보도록 하겠습니다. Review 우리는 이전부터 행렬이 diagonal matrix인 것이 다루기 쉽고 여러 의미로 이해하기 편하다는 것을 알기에, 그 자체가 diagonal이지 않아도 diagonal matrix와 similar한 경우가 무엇인지를 알아보았었습니다. 이러한 경우를 diagonalizable하다고 하고, 어떤 행렬이 diagonalizable하다는 것과 필요충분조건으로 그 행렬의 eigenvector로 이루어진 basis가 존재한다는 것을 살펴보았었죠. 즉, 적당히 축을 비틀면 basis일 뿐만 아니라 그 행렬에 의한 mapping 결과 또한 해당 좌표 방향으로 상수배되는 꼴로 나온다는 의미를 ..

이번 포스팅에서는 spectral theorem에 대해서 알아보도록 하겠습니다. Spectral theorem은 우리가 지금까지 inner product 단원에서 중요하게 다뤄왔던 내용들의 총 결산에 해당하는 theorem이라 할 수 있겠습니다. 우선 statement를 한 후 이해를 해보도록 하겠습니다. Thm (Spectral Theorem) $T:V\longrightarrow V$를 linear operator라고 하고, $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$를 $T$의 모든 distinct eigenvalues라고 하겠습니다. 그리고 Field가 $\mathbb{C}$인 경우는 $T$를 normal, $\mathbb{R}$인 경우는 $T$를 self-adjoint라고 가정하겠습니다. ..

이번 포스팅에서는 정사영(orthogonal projection)에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. Orthogonal projection을 이해하기 위해서는 우선 기본적인 projection이 무엇인지에 대한 이해가 우선적으로 필요하겠습니다. Def Vector space $V$와 subspaces $W_1,W_2\le V$에 대해 $V=W_1\oplus W_2$라 하겠습니다. 이 때, linear operator $T:V\longrightarrow V$가 $W_2$를 따른 $W_1$위로의 projection이라는 것은, $$ T\mathbf{x}=\mathbf{x}_1 $$ where $\mathbf{x}=\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2\in W_1\oplus W_2$로 정의 되는 것을 ..

아바타2 스포없음! 아바타2를 보고 왔습니다. 아바타2 스펙 아바타2는 현존하는 3D 영화 기술의 집합체라는 말이 있을 정도로 영상미가 좋기로 유명하죠. 그래서 열심히 알아보니 모든 영화관이 영화 제작자의 의도를 다 반영할 수 있는건 아닌 것을 알았습니다. 더 디테일하게 있을 수도 있겠지만, 흔히 거론되는 스펙은 아래와 같습니다. 4K HDR HFR 4K는 해상도를 나타내는 단어로, 모니터 해상도를 떠올리셔도 됩니다. 같은 화면 사이즈라면 픽셀 수가 많은 것이 대상을 더 디테일하게 표현할 수 있겠죠. 반대로는 모자이크를 떠올리시면 됩니다. 같은 화면 사이즈여도 픽셀 수가 현저히 적으면 그것이 바로 모자이크죠. HDR은 High Dynamic Range의 약자로, 색의 표현 범위가 더 넓어져서 어두운 것은..

이번 포스팅에서는 unitary operator와 orthogonal operator가 무엇인지 살펴보는 시간을 가져보도록 하겠습니다. Motivation 벡터공간 상에 내적이 정의되면서 우리는 벡터의 크기와 벡터끼리의 각도를 잴 수 있었습니다. 이런 것을 흔히 공간에 기하를 주었다고 표현합니다. 지난 포스팅까지 $T$의 eigenvector로 이루어진 orthonormal basis가 존재하기 위한 필요충분조건이 무엇인지를 알아보았는데, 이를 기하적인 관점으로 살펴본다면 $T$를 태워 보냈을 때 서로의 각도는 변하지 않고 길이만 변화되는 orthonormal basis를 찾는 것으로 이해할 수 있을 것입니다. 여기서 다른 사이드로 $T$를 태워 보냈을 때 길이를 변화시키지 않는 linear operat..

이번 포스팅에서는 self-adjoint operator 및 이에 대한 diagonalization을 알아보도록 하겠습니다. Motivation 지난 포스팅([Linear Algebra] 70. Normal Operator and Diagonalization)에서 다뤘듯이, linear operator $T$가 주어져 있을 때, $T$의 eigenvector로 이루어진 orthonormal basis가 존재하기 위한 필요충분조건을 찾고자 하였고, field가 $\mathbb{C}$인 경우엔 $T$가 normal operator인 것이 그 답이 되었습니다. 하지만 $\mathbb{R}$은 회전변환이라는 반례가 있었기 때문에 좀 더 강한 조건을 찾아야 하는 상황이었죠. 이제 그 조건이 무엇인지 알아보고자 합..

이번 포스팅에서는 normal operator 및 이에 대한 diagonalization을 알아보도록 하겠습니다. Motivation 일반 vector space $V$위의 linear operator $T$가 diagonalizable한 것과 필요충분조건은 $T$의 eigenvector로 이루어진 $V$의 basis가 존재하는 것이었습니다. 그렇다면 $V$가 inner product space라면 어떨까요? 앞선 내용들을 통해 우리는 orthonormal basis를 가지고 있으면 임의의 vector를 basis의 linear combination으로 표현할 수 있을 뿐만 아니라, 앞의 계수까지 완전히 inner product를 통해 계산해낼 수 있다는 것을 알고 있습니다. 또한 orthogonalit..