수학 기록지

선형대수 전자책 발간 안내

신라면순한맛 — Tue, 4 Feb 2025 17:25:10 +0900

안녕하세요!
오랜만에 글을 쓰네요.

작년부터 작업했던 선형대수 전자책이 완성되었단 소식을 알려드리고자 합니다. 크몽에 런칭했으며, ‘수민정음’이라는 닉네임을 쓰게 되었습니다.

https://kmong.com/self-marketing/633181/GHcehqdP66

수민정음의 선대의 지혜 - 크몽

수민정음 전문가의 전자책 서비스를 만나보세요. <p><strong style="font-size: 24px;&q...

kmong.com

기존에 이 블로그에 있었던 글을 모아 정리하였습니다.
선형대수에 필요한 집합론 내용까지 수록해두었습니다.

선형대수를 밑바닥부터 제대로 공부하고자 하는 분들이라면 이 책을 레퍼런스로 다루는 것을 권해드립니다. 이인석 교수님의 선형대수와 군과 프리드버그의 선형대수학을 기초로 하되, 책만으로는 알기 어려운 스토리들을 제 노하우와 함께 녹여냈습니다.

많은 관심 부탁드립니다!

감사합니다.

[일상] 마음의 연료와 가치추구의 삶

신라면순한맛 — Tue, 13 Aug 2024 16:44:34 +0900

우리네 삶이 각박한 것은 비단 최근의 일은 아니다. 하지만 SNS탓인지는 모르겠으나, 최근에 유독 더 그런 점이 부각되는 것은 사실이다. 그리고 내 삶만 보더라도 실제로 그렇다는 생각이 든다.

고민해보았다. 나와 우리네 삶에서 결여된 것은 무엇일까? 왜 우리나라는 지속적인 경제적인 성장을 이룸에도 불구하고 자꾸 돈만을 찾게 될까? 왜 자꾸 남과 비교를 할까?

나 또한 평소에는 이러한 시류에 편승하는 사람 중 한 사람이었다. 지금도 그럴 것이다. 다만 지내다보면 어느 순간 문득 정신이 들곤 하는데, 지금이 바로 그 순간이다. 놀랍도록 차분해지는 이 순간.

조금 거칠게 사람을 기계에 비유를 해보자. 기계가 동작하기 위해서는 연료가 필요하다. 그리고 기주입된 연료를 다 쓰고 나면 기계는 동작을 멈춘다. 기계의 기능이 문제여서가 아니다. 단지 연료가 없을 뿐이다. 예컨대 집에 있는 커피머신은 미리 주입된 물을 끌어서 커피를 내린다. 한 번 커피를 내릴 때 필요한 물의 양이 있는데, 그만큼의 물이 없다면 다 쓴 시점에서 굉음을 낸다. 조금이라도 더 끌어오려고 애쓰는 것처럼. 그러다 결국은 내릴 수 있는 물이 더이상 없어 커피 제작을 중단한다.

사람은 어떠한가? 우리의 연료는 무엇인가? 물론 기계가 동작하기 위해서 일정량의 전기가 필요한 것처럼 우리도 움직이기 위해서는 일정량의 음식과 수면이 필요하다. 그리고 정말로 중요하다. 하지만 사람은 기계와 다르게 그런 피상적인 것만 있어서는 제대로 동작할 수 없다.

내가 생각하는 우리의 진짜 연료는 마음의 연료이다. 이 마음의 연료는 스스로 만들어나갈 수도 있지만, 보통은 어릴 때 가족간의 관계로부터 만들어진다고 생각한다. 어른의 시점으로는 당연한 그런 것들. 가령 아기때 뒤집기에 성공했다고 갈채를 받고, 글씨를 잘 쓴다고 칭찬을 듣고, 부모님이 아프실 때 밥에 물을 말아드린 행동으로 동네 모든 어른들께 장하다는 소리를 듣는 그런 것들이다. 말로는 다 표현할 수 없는 아주 작은 그런 것들이 모여, 우리의 자존감을 형성하고 세상을 살아나갈 힘을 마련해준다.

내가 어릴 때에는 IMF로 인해 나라가 휘청였었고 그로 인해 우리 집도 본격적인 가난의 길로 들어갔다. 우리 집 뿐만 아니라 대부분의 서민들의 가정들은 고통속에 살아야만 했을 것이다. 이후 시간이 지나며 서서히 경제는 회복했고, 그렇게 나아지는 듯 했다. 실제로 가정형편이 많이 회복된 가정도 있고 그렇지 않은 곳도 있을 것이다. 그 여부와는 관계없이, 겉으로는 나아졌음에도 불구하고, 우리네 삶은 결과적으로 척박해졌다고 생각한다.

저런 경제적 위기를 사회 전반이 겪고 나면 사람들은 다들 돈에 집착하게 된다. 살아야 하니까. 그러면서 자연스럽게 마땅히 지켜져야 하고 추구해야 할 가치가 사라지게 된다. 그런 분위기와 가르침은 그대로 아이들에게 전가되고, 그렇게 자란 아이들이 경제의 주축으로 자리잡고 있는 요즘, 내면에 있어야 할 연료는 남아있지 않고, 그럼에도 살기위해 굉음을 내기 시작한다. 마치 물이 다 떨어진 커피머신처럼.

결국 사람들은 우리의 아이들이 우리의 전철을 밟지 않았으면 하기에 또는 아이를 낳고 키우는 것에 대한 가치부여보다 경제적 및 커리어적 관점에서 손해라는 점이 앞서 아이를 낳지 않는 선택을 하게 된다. 혹은 아이까지 가지 않아도 스스로 생을 마감한다. 비단 아이를 낳거나 자살하는 등만의 문제는 아니다. 내가 느끼는 요즘 우리나라 사회의 구성원들은 대부분 모든걸 돈으로 환산하여 키재기를 한다. 왜 그럴수밖에 없었을까? 더이상 쓸 연료가 없어졌기 때문에 그럴 것이다. 여유가 없어지고 피상적인 것에 집착하게 된다. 남아있는 사람들은 서로의 자산과 연봉에 대해서만 관심을 갖고, 항상 나보단 잘난 사람들을 보기 때문에, 그마저도 불행해진다.

그럼 이렇게 끝내야만 하는걸까. 나는 이 문제에 대해 정말로 오랫동안 많이 고민해왔다. 아직도 답은 잘 모르겠지만, 어렸을 때 마땅히 갖췄어야 할 연료를 갖추지 못했다면, 후천적으로라도 길러야 한다고 생각했다. 어렸을 때로 돌아가보자. 우리는 언제 내면의 연료를 쌓을 수 있었는가. 사소한 것에 기쁨을 느끼고, 물질이 아닌 대상 그 자체에 대한 가치를 추구했던 것 같다. 우리는 그걸 보고 아이들은 참 순수해, 라고 한다. 순수한 마음. 거기서부터 시작해보면 어떨까?

어렵지만 충분히 해볼만 하다. 가치추구의 삶. 피상적인 것으로부터 벗어나 나를 알아가고 세상을 알아가는 것. 물론 어른이기에 더 많은 것들을 책임지며 나아가야겠지만, 그것이 궁극적으로 나아가야 할 길임에는 명확해보인다. 잡생각에 사로잡혀 있지 않기 위해 운동을 꾸준히 하고, 깊이 있는 고민들을 하기 위해 책을 읽는다. 사회 속에 녹아있되, 다른 사람이 아닌 나를 들여다본다.

그런 삶을 살아나가야겠다.

선형대수 전자책 발간에 따른 블로그 글 내림 안내

신라면순한맛 — Tue, 30 Apr 2024 10:23:47 +0900

안녕하세요

현재 블로그에 게시되어 있는 선형대수 포스팅은 조만간 전자책으로 새로이 발간할 예정입니다. 따라서 선형대수 글은 내리게 되었습니다. 5월내로 전자책을 발간할 예정이며, 발간이 되면 다시 소식을 전하도록 하겠습니다.

감사합니다.

[Real Analysis] 2. Mathematical Induction

신라면순한맛 — Sun, 14 Jan 2024 16:50:22 +0900

이번 시간에는 수학적 귀납법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

수학적 귀납법은 많은 사람들이 고등학교때부터 마치 공리인 것처럼 받아들이고 있지만, 실제로는 공리가 아닌 증명이 필요한 정리입니다. 정리 내용은 다음과 같습니다.:

Thm (Mathematical Induction)
Let $P(n)$ be a statement for $n\in\mathbb{N}$.
If
1) $P(1)$ is true, and
2) $P(k)$ is true $\Rightarrow P(k+1)$ is true,
then $P(n)$ is true for all $n\in\mathbb{N}$.

수학적 귀납법은 자연수에 대한 명제가 주어져 있을 때, 해당 명제가 모든 자연수에 대해서 성립하는 것을 확인하고 싶을 때 쓰는 정리입니다. 그런데 자연수의 집합은 무한한데 어떻게 모든 자연수에 대해서 성립하는 것을 보장할 수 있을까요? 무한한 프로세스를 유한한 프로세스로 내리는 작업이 필요한데, 여기서는 이를 위해서 아래의 자연수의 성질을 사용해야 합니다. Well Ordering Principle은 Zorn's lemma 및 하우스도르프의 극대원리 등과 동치를 이루는 공리입니다.

Well Ordering Principle
Every nonempty subset of $\mathbb{N}$ has a smallest element.

이를 이용하면 위의 수학적 귀납법을 증명할 수 있습니다.:

proof)
모든 자연수 $n\in\mathbb{N}$에 대해서 $P(n)$이 참인 것을 보이는 것이 목표이므로, 귀류법을 사용하여 모순을 이끌어내 보겠습니다. 이를 위해 $P(n_o)$이 거짓이 되게끔 하는 적당한 자연수 $n_o\in\mathbb{N}$이 존재한다고 가정하겠습니다.

여기서 $$ A\coloneqq\{n\in\mathbb{N}\::\:P(n)\text{ is false.}\} $$ 로 정의하면, $n_o\in A$이므로 $A\neq\empty$임을 쉽게 알 수 있습니다. 그리고 정의상 $A\subset\mathbb{N}$ 또한 성립합니다. 즉, $A$는 $\mathbb{N}$의 nonempty subset인 것입니다.

이제 Well Ordering Principle에 의하여, $A$는 smallest element $k_o$을 가지게 됩니다.

한편, 가정에 의해 $P(1)$은 참이므로 $1\notin A$이고, 이에 따라 $k_o>1$이 됩니다.

또한, $k_o$은 주어진 명제를 거짓으로 만드는 가장 작은 자연수이므로 $P(k_o-1)$은 참임을 알 수 있습니다.

여기서 다시 한 번 가정에 의하면 $P(k_o)$이 참이라는 결론이 나오게 됩니다.

하지만 이는 $k_o\notin A$을 의미하므로 모순이 됩니다.

이 모순의 시작은 $A$를 nonempty set으로 만드는 가정이므로, 귀류법에 의하여 모든 자연수 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $P(n)$이 참임을 알 수 있습니다. $\square$

수학적 귀납법을 활용하는 예제를 하나 살펴보겠습니다.:

Example
For $r\neq 1$, show that $$ r+\cdots+r^n=\frac{r-r^{n+1}}{1-r}. $$

proof)
위 명제를 $P(n)$이라 하겠습니다.

만약 $n=1$인 경우, 좌변은 $$ r^1 = r, $$ 우변은 $$ \frac{r-r^2}{1-r} = \frac{r(1-r)}{1-r} = r $$ 이므로 좌우변이 같습니다. 따라서 $P(1)$이 참임을 알 수 있습니다.

다음으로 자연수 $k\ge 1$에 대해 $P(k)$가 참이라 가정하겠습니다.
그러면,
$$ \begin{aligned} r + \cdots + r^k + r^{k+1} &= \frac{r-r^{k+1}}{1-r} + r^{k+1} \\ &= \frac{r-r^{k+1}+r^{k+1}(1-r)}{1-r} \\ &= \frac{r-r^{k+2}}{1-r} \end{aligned} $$ 이므로 $P(k+1)$도 참임을 알 수 있습니다.

따라서 mathematical induction에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 $P(n)$이 참임을 증명하였습니다. $\square$

이번에는 부등식으로 주어진 명제를 증명해보겠습니다.:

Example (Bernoulli's inequality)
For $h>-1$, prove that $$ (1+h)^n \ge 1+nh. $$

proof)
위 명제를 $P(n)$이라고 정의하겠습니다.

$n=1$인 경우, 좌변은 $$ (1+h)^1 = 1+h, $$ 우변은 $$ 1+1\cdot h= 1+h $$이므로 좌우변이 같아져 $P(1)$이 성립하게 됩니다.

이제 자연수 $k$에 대하여 $P(k)$가 참이라고 가정하겠습니다.
그러면 아래의 부등식이 성립하게 됩니다.:
$$ \begin{aligned} (1+h)^{k+1} &= (1+h)^k(1+h) \\ &\ge (1+kh)(1+h) \\ &= 1 + (k+1)h + kh^2 \\ &\ge 1+ (k+1)h. \end{aligned} $$ 이로부터 $P(k+1)$ 또한 참이 됩니다.

그러므로 mathematical induction에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 $P(n)$이 참이 됩니다. $\square$

수학적 귀납법을 동작하게 하는 핵심 동력은 자연수의 Well Ordering Principle이고, 이 axiom의 핵심은 successive이기 때문에, 꼭 처음에 $1$부터 시작할 필요도, 꼭 바로 직전만의 성공을 보장받을 필요도 없을 것입니다. 실제로 induction은 핵심 property인 successive는 공유한채로, 다양한 modified version을 가지고 있습니다.:

Modified #1
Fix $n_o\in\mathbb{N}$ and let $P(n)$ be a statement for natural numbers $n\ge n_o$.
If
1) $P(n_o)$ is true, and
2) $P(k)$ is true for a natural number $k\ge n_o$ $\Rightarrow P(k+1)$ is true,
then $P(n)$ is true for all $n\ge n_o$.

Modified #2
Let $P(n)$ be a statement for $n\in\mathbb{N}$.
If
1) $P(1)$ is true, and
2) $P(j)$ is true for all $j<k$ $\Rightarrow P(k)$ is true,
then $P(n)$ is true for all $n\in\mathbb{N}$.

두 modified versions 모두 굉장히 자주 쓰이는 정리들이니, 기존 mathematical induction을 활용하여 한 번쯤은 증명해보시길 권장드립니다. Induction은 이렇게 증명하는 것도 물론 중요하지만, 수학 전반에 걸쳐 굉장히 자주 쓰기 때문에 정리의 내용을 똑바로 숙지하고 있어야 하겠습니다.

이상으로 수학적 귀납법에 대한 설명을 마치겠습니다.

감사합니다.

[Real Analysis] 1. 애증의 해석학에 대하여

신라면순한맛 — Sat, 13 Jan 2024 20:06:51 +0900

저에게 있어 해석학은 정말 애증의 대상 그 자체였습니다.

해석학을 처음 배웠던 것이 대학교 2학년 무렵이었는데, 그 때만 해도 수학에 대한 감은 전혀 없는채로 전공수학의 맛을 봐야만 했습니다. 나름 공부는 열심히 하던 학생이었기에 계속 그렇게만 하면 되는 것이라 착각하며 살아갔었는데, 해석학 또한 예외는 아니었습니다. 그 당시 해석학 교수님이 문제를 내는 스타일은 책을 통째로 외우면 점수가 높게 나오는 것이었기에, 이해가 전혀 수반되지 않은 채로 무지성으로 외워서 점수를 만들었던 기억이 있습니다. 이후 학부 기간동안엔 해석학이 나오기만 하면 도망다녔고, 대학원에 가서도 해석학 때문에 너무나 많은 고생을 했었습니다. 즉, 그저 증오의 대상이었을 뿐이었습니다.

한편, 대수학을 전공하면서, 다소 비대칭적이지만 수학에서 말하고자 하는 바와 논리적 흐름을 일부 파악할 수 있었고, 자연스럽게 해석학으로도 다시 관심을 갖게 되었습니다. 그때서야 비로소 학부 시절에 놓쳤던 포인트들을 잡을 수 있게 되었고, 뒤늦게나마 해석학에 나름의 애착을 갖을 수 있었습니다. 첫 단추를 잘못 끼워서 증오로 시작했기에 대수학만큼의 애착이 생기지는 않아, 애증의 대상이라고 표현했습니다.

해석학은 선형대수와 같이 학부 수학의 양대산맥을 이루고 있는 과목입니다. 주로 실수가 무엇인지, 극한이 무엇인지에 대해 좀 더 심층적으로 접근하고, 함수에 대해 깊이 알아갑니다. 보통 학부에서는 수학 전공생들이 '극한의 엄밀한(?) 정의'라 불리우는 엡실론-델타 논법을 처음 접하면서 아름다움을 느끼기 보단 괴랄함을 먼저 느끼며 주전공을 포기하는 경우가 허다합니다. 하지만 앞서 얘기했듯이 선형대수와 양대산맥을 이루기에, 해석학의 내용을 몰라서는 수학과 관련된 일을 하기 어려울 정도입니다. 하더라도 굉장히 제한적일 수 밖에 없습니다.

따라서 앞으로 적어나갈 글들을 통해, 해석학에 증오를 느꼈었던 제가 어떻게 해석학에 대해서 애증의 정서를 갖게 되었는지, 제가 이해했던 포인트들을 중심으로 내용 전개를 해보고자 합니다.

아마도 짧게는 6개월, 길면 1년간 글을 주기적으로 쓰리라 생각합니다.

그럼 이제 해석학의 세계로 떠나보시죠!

[대수기하] 1. 리만-로흐 정리를 통한 대수기하 첫 걸음

신라면순한맛 — Sun, 26 Feb 2023 22:50:27 +0900

유튜브 수학의 즐거움 채널에서 진행하는 기초 대수기하 스터디에 참여하면서 필요한 내용을 공부한 것들을 기록하는데 그 목적이 있다. 디테일을 채우는 기준은 최소한 전체적인 흐름을 놓치지 않는 선이고, 가능한 한 제 자신을 완전히 설득하는데 집중하고자 한다. 수학 전공내용의 상당 부분의 디테일을 잊어먹고 있는 상황이라, 리뷰를 하는 차원에서 디테일을 채워나갈 듯 하다. 이렇게 현재 시점에서 놓치고 있는 디테일들을 이번 대수기하 스터디를 통해서 채울 수 있다고 생각하니 벌써부터 흥미롭다. 기초 대수기하 스터디에서는 이미 녹화되어 있는 복소대수기하 스터디 영상을 공부하는 일이 많을 듯 한데, 이는 해당 채널의 유료 멤버십 멤버들에게만 제공되는 내용이므로 링크를 따로 달지는 않고 (채널지기님의 허락을 받아) 공부한 내용만을 기록하는 형태로 블로그를 채워나가고자 한다.

첫 시작은 갑분 리만-로흐 정리(Riemann-Roch Theorem)으로부터 시작되었다.

Riemann-Roch Theorem

Let $M$ be a compact Riemann surface and $D$ be a divisor in $M$. Then, $$ \dim\mathcal{L}(D) - \dim\mathcal{I}(D) = 1 - g + \deg (D) $$ where $g$ is a genus of $M$ and $$ \begin{aligned} &\mathcal{L}(D) = \{f\in m(M)\::\:(f)+D\ge 0\}\ni\mathbb{I} \\ &\mathcal{I}(D) = \{\omega\text{ meromorphic 1-form }\::\: (\omega)-D\ge 0\}. \end{aligned} $$

처음부터 외계어 파티인데, 무엇을 말하고자 이 theorem부터 얘기를 꺼낸 것일까? 좀 더 봐야할 것 같다.

[채워야 할 디테일]

compact Riemann surface

topological manifold의 핵심은 locally Euclidean이다. (물론, second countable과 Hausdorff space도 만족해야 한다.) 즉, 전체로 보면 아니지만 locally 보면 Euclidean space라는 의미이다. 여기서 말하는 Euclidean space는 $\mathbb{R}^n$일 수도 있지만 $\mathbb{C}^n$일 수도 있다. 앞으로 별 말 없으면 $\mathbb{C}^n$으로 보도록 한다. 이렇게 $\mathbb{C}^n$과 locally homeomorphic하다면 이를 $n$-dim'l complex manifold라고 한다.
manifold가 connected라는 것은 무엇인가? topological space로써 connected라는 것은 두 개의 disjoint open sets의 union으로 나타낼 수 없을 때를 말한다. manifold도 당연히 top. space이기 때문에 같은 정의를 따른다.
compact도 비슷하다. top. space가 compact라는 것은, 임의의 open cover가 finite subcover를 갖는 것을 의미한다. compactness는 connectedness와 함께 고려했을 때 모종의 classification을 가능하게 해준다.
Riemann surface는 complex dimension one을 갖는 connected complex manifold를 뜻한다. 깔-끔.

divisor

이는 대수기하의 언어를 좀 더 쌓은 후 학습하는 것으로 한다.

genus

connected orientable surface에서 genus란 closed simple curve를 shrinking한 것을 하나의 equiv. class로 보았을 때, 나올 수 있는 서로 다른 equiv. class의 갯수를 말한다. 예를 들어 sphere는 어느 점에서 closed simple curve를 잡아도 모두 한 점으로 귀결되므로 이 때의 genus는 0이고, torus의 경우 크게 바깥쪽으로 잘 돌리면 절대 한 점으로 줄어들 수 없는 curve가 하나 존재하므로 genus는 1이 된다. 이는 흔히 hole의 갯수로 이해할 수 있다.

meromorphic function

meromorphic function은 complex plane의 open subset 상의 점 중 pole을 제외한 모든 점에서 holomorphic한 함수를 의미한다. meromorphic function은 항상 pole에서 zero를 갖는 holomorphic function을 분모로 하는 두 holomorphic function의 ratio로 나타낼 수 있어서, 이를 보고 우리 말로는 유리형 함수라고도 부른다.

cpt RS는 항상 algebraic하다고 한다. 즉, 적당한 homogeneous polynomials의 zero set으로 나타낼 수 있기 때문에, 어떤 의미에선 cpt RS는 이의 analytic version이라고 볼 수 있다. 어차피 대수기하 하려는 것이고 그런 의미에서 왜 analytic version을 필요로 하는 것인가? 라는 질문에 대해서는, Taylor expansion등의 도구를 활용할 수 있는 여지를 남겨둠으로써 더 고도화 된 추상화를 하기 전에 살릴 수 있는 직관은 계속 가져가고자 하는데 그 목적이 있다고 한다.

그리고 RS는 각 점에서 chart를 갖는데, 이 때 겹치는 영역에 대해서는 transition map이 holomorphic하기를 요구한다는 점에서, smooth manifold가 diffeomorphism을 요구하는데 비해 더 강한 조건을 요구하고 있다는 것을 알 수 있다. 무한번 미분가능 한 것을 넘어서 자신의 테일러 급수로 수렴하기를 바라는 것이니까.

cpt RS는 결국은 orientable surface를 말하고자 하는 것인데, orientable surface는 이미 미분기하로부터 어떻게 다뤄야 할 지를 잘 알고 있다. 바로 Gauss-Bonet이 그 내용이다.

Gauss-Bonet Theorem

Let $M$ be a cpt RS and let $g$ be a genus of $M$. If $M$ has a (Riemannian) metric, then $$ \chi(M) = \int_M \text{ Gauss curvature } / \: 2\pi = 2 - 2g. $$

Gauss-Bonet 정리만 보면 invariants가 genus뿐인데, 그에 비해 Riemann-Roch Theorem은 뭔가 많이 복잡해보인다. 둘 다 결국은 cpt RS에 대한 classification을 주는 것일텐데, 왜 이렇게 다르게 보일까? 두 theorem을 비교하는 관점에서 접근해보자.

우선 Euler characteristic $\chi(M)$은 n-th singular homology group의 rank인 Betti number의 alternating sum으로 이루어졌다고 한다. singluar homology group이 뭔지 모르니까 그런가보다 하고 우선 넘어가자. 여튼, alternating sum이다. Riemann-Roch의 좌변도 alternating sum 형태로 생겼다는 점에서 비슷하다.

이를 좀 더 관찰해보자. sheaf cohomology를 공부하고 나면 자연스럽게 알 수 있는 결과 중 하나로, de Rham theorem이 있다고 한다. smooth manifold $M$을 가지고 온 것은 partition of unity를 허락하는 category이기 때문이라고 한다. 그리고 중간에 있는 cohomology의 $\mathbb{R}$은 $\mathbb{R}$을 constant sheaf로 볼 수 있도록 sheafification한 것이라고 한다. (외계어 파티이니 이건 그런가보다 하고 지나가자.)

de Rham Theorem

Let $M$ be a $C^{\infty}$-mfd. Then, $$ H^i_{sing} (M,\mathbb{R}) \cong H^i(M,\mathbb{R}) \cong H^i_{dR} (M,\mathbb{R}),\quad\forall i$$

[채워야 할 디테일]

partition of unity

$R$이 topological space $X$의 partition of unity라는 것은 다음의 조건을 만족하는 $X\rightarrow [0,1]$인 continuous functions의 집합이다.: 각 $x\in X$마다
1) 유한개를 제외한 무한개의 $R$을 $0$으로 만드는 neighborhood가 존재한다,
2) $\sum_{\rho\in R} \rho(x) = 1.$
partition of unity가 유용한 이유는 local structure를 whole space로 확장할 수 있게끔 도와주는 역할을 하기 때문이라고 한다. 앞으로 공부하면서 이 점에 주목해야겠다.

de Rham cohomology

chain complex란 abelian groups이나 modules들과 이에 대한 homomorphisms로 이루어진 대수적 구조에서 맵을 두 번 태워보내면 vanishing 되는 것을 뜻한다. 즉, 이전 map의 image가 다음 map의 kernel로 들어가는 것을 의미한다. 사이사이 homomorphism의 이름을 모두 같은 이름(예를 들면 $d$)으로 쓰는 경우가 있는데, map을 만드는 구조가 같단 의미에서 indexing을 생략한 것뿐이지 실제로는 함수로써는 모두 다름에 유의해야 한다.
cohomology는 주어진 chain complex로부터 얻어지는 quotient structure이다. chain complex 정의상 n번째 abelian group이나 module에서는 $n$번째 map의 kernel과 $(n-1)$번째 image를 갖고 있고, $(n-1)$번째 image가 $n$번째 kernel에 포함되기 때문에, kernel을 image로 quotient하여 quotient structure를 얻을 수 있다. 이를 $n$번째 cohomology라 부른다.
smooth manifold $M$이 주어져 있을 때, 아래와 같은 de Rham chain complex를 생각하자. $$ O\rightarrow\Omega^0_M\xrightarrow{d}\Omega^1_M\xrightarrow{d}\cdots\xrightarrow{d}\Omega^n_M\rightarrow O.$$ 이 때, $\Omega^0_M$은 $0$-form(함수)의 모임이고, $\Omega^k_M$은 $k$-form의 모임이다. 여기서 de Rham cohomology는 다음과 같이 정의된다. $$ H^i_{dR}(M, \mathbb{R})\coloneqq\frac{ \ker(d:\Omega^i_M\rightarrow\Omega^{i+1}_M)}{\mathrm{im}(d:\Omega^{i-1}_M\rightarrow\Omega^i_M)} $$ 여기서 $n$번째 form에서 멈춘 이유는 $M$의 dimension이 $n$이면 그 다음은 무조건 vanishing되기 때문이다.

de Rham theorem으로부터 singular cohomology를 de Rham cohomology로 치환해서 바라볼 수 있다. de Rham theorem에서는 over $\mathbb{R}$로 서술되어 있지만, 이를 over $\mathbb{C}$로 바꾸어도 아무 문제가 없다. 여기서 우리의 Riemann surface는 complex dimension one이므로, 이 때의 Euler characteristic을 생각하면 alternating sum이 항 두 개로 이루어져 있으니, 이런 관점에서 보면 Riemann-Roch theorem의 좌변이 정말로 Euler characteristic과 비슷해보인다. 이게 우연인가? 이를 조합해보자.

Riemann-Roch theorem의 LHS $$ \dim\mathcal{L}(D) - \dim\mathcal{I}(D) $$는 결국 divisor $D$로부터 induced 되는 적당한 sheaf cohomology $H^i(M,D)\:(i=0,1)$의 ranks의 alternating sum이 아닐까? 실제로 맞는 말이고, 이 때의 cohomology는 invertible sheaf로부터 얻어지는 것이라 한다. 즉, LHS는 divisor $D$가 만들어내는 invertible sheaf의 Euler characteristic이란 것이다!

LHS의 $\mathcal{L}(D)$와 $\mathcal{I}(D)$를 계속 de Rham cohomology의 언어로 관찰해보자. 그러면 $H^0(M,D)$는 적당한 함수들의 집합이 될 것이고 $H^1(M,D)$는 적당한 1-form의 집합이 될 것이다. 실제로 $\mathcal{L}(D)$와 $\mathcal{I}(D)$는 각각 특정 조건을 만족하는 meromorphic function의 집합과 meromorphic 1-form의 모임이다. 이 때, divisor $D$란 정말로 무엇이며, manifold 위에서의 meromorphic은 무엇이고, 해당 특정 조건들은 왜 그렇게 생겼는가? 그리고 Riemann-Roch theorem의 RHS의 intuition은 과연 무엇일까?

우선 manifold 위에서의 holomorphic이 무엇인지 알아보자. complex manifold $M$이 주어져 있을 때, $f:M\rightarrow\mathbb{C}$가 holomorphic이라는 것은, 임의의 coordinate chart $(U,\varphi)$에 대하여 $ f\circ\varphi^{-1}|_{\varphi(U)}$가 holomorphic인 것을 뜻한다. 만약 여기서 더 나아가 $M$이 compactness를 가지면, 이 위에서 정의된 holomorphic function은 언제나 constant이다. 그 이유는 크게 두 가지 statement로부터 도출이 가능하다. 1) compact set 위에서 정의 된 continuous function은 bounded이다. 2) (Liouville) bounded holomorphic function은 constant이다. 실제로, $f$가 cpt mfd $M$위에서 정의 된 holomorphic function이라 하면, 임의의 한 chart $(U,\varphi)$를 통해 나온 함수 $g= f\circ\varphi^{-1}|_{\varphi(U)}$가 holomorphic임을 알 수 있다. 이 때 1)에 의해 $f$가 bounded function임을 알고, 이에 따라 $g$ 또한 bounded가 된다. 여기서 $g$는 holomorphic하므로 2)에 의해 $g$가 constant임을 안다. 이제, $M$의 각 점 $p$마다 $p$를 포함하는 chart $(U_p, \varphi_p)$를 고려하자. 그러면 $$ M\subset\bigcup_{p\in M} U_p $$가 된다. 이 때 $M$은 cpt이므로 유한개의 점 $p_1,\ldots,p_k\in M$이 존재하여 $$ M\subset U_{p_1}\cup \cdots \cup U_{p_k} $$가 성립한다. 한편, 위의 논의로부터 각 chart에 정해지는 $g$는 constant임을 알고 있으므로, 각 $U_p$ 위에서 정의되는 $g_p=f\circ\varphi_p^{-1}|_{\varphi_p(U_p)}$는 모두 constant가 된다. 마지막으로 이것이 부분적으로 constant인 것이 아닌 전체적으로 하나의 constant value를 갖는다는 것을 보이고자 한다. 만약 두 chart가 겹친다면 겹치는 부분에서의 함숫값이 잘 정의되기 위해서는 두 chart에 involve된 constant 값은 같아야만 한다. 그렇다면 겹치지 않는 chart가 존재할 수 있을까? 만약 적당한 $p_k$가 있어서 $U_{p_k}$가 다른 open neighborhoods와의 교집합이 없다고 가정해보자. 여기서 $V_1=\cup_{j\neq k} U_j$라 하고 $V_2=U_k$라 하면, $V_1$, $V_2$는 open이고 $M\subset V_1\cup V_2$이면서 $V_1\cap V_2=\emptyset$이 성립한다. 그런데 $M$은 connected이므로 이러한 open sets는 존재할 수 없다. 따라서 겹치지 않는 chart는 존재할 수 없으므로 위에서 찾은 유한개의 점에 연관된 모든 chart 위에서 하나의 공통된 constant 값을 갖는다. 그러므로 $f$ 또한 constant임을 증명하였다.

방금 말한 것처럼 complex-valued holomorphic function은 cpt RS 위에서는 constant이기 때문에 흥미롭지 않다. 하지만 여기서 complex plane에 무한점을 추가해줘서 one-point compactification을 하면 projective space $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$를 얻게 되는데, 이 space로 가는 함수를 생각해주면 non-trivial한 상황에 놓이게 된다. Riemann surface $M$과 $f:M\rightarrow\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$가 주어져 있을 때, $f$가 holomorphic하다는 것은 임의의 chart $(U, \varphi)$에 대하여 $f\circ\varphi^{-1}|_{\varphi(U)}$가 meromorphic하다는 것과 필요충분조건이라고 한다. 즉, 이제는 constant가 아니게 됐다.

manifold 위에서 complex plane으로 보내든 projective plane으로 보내든 holomorphic function이라는 개념은 complex plane 위에서의 holomorphic 및 meromorphic function으로 정의된다는 것에 주목해야 한다. manifold 위라고 거창하게 얘기했지만, 진짜 실체는 그래봐야 complex plane 위에서 정의한 것을 가져다 쓰는 것에 불과하단 뜻이다.

manifold 위에서의 meromorphic function은 노트에서 따로 정의하지는 않았지만 $f:M\rightarrow\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$이 holomorphic 하다는 것은 사실 $f:M\rightarrow\mathbb{C}$가 meromorphic하다는 것이니, 이것도 해결이 되었다.

이제 meromorphic 1-form on $M$이 무엇인지 알아야 한다. $\mathbb{C}$에서의 open set $U$에 대하여 $f$가 meromorphic function on $U$라고 하면, $$ f(z)dz $$를 meromorphic 1-form on $U$라 부른다. 이를 이용하여 manifold 위에서의 meromorphic 1-form도 정의할 수 있다. Riemann surface $M=\cup_{\alpha} (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$이 주어져 있을 때, $\omega$를 meromorphic 1-form on $M$이라고 하는 것은 각 $(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$마다 $$ \omega = f_{\alpha}(z_{\alpha})dz_{\alpha} $$를 만족시키는 meromorphic function $f_{\alpha}:U_{\alpha}\rightarrow\mathbb{C}$이 존재하는 것을 뜻한다. 물론 overlap 되는 부분에서도 문제가 없어야 한다. 즉, $$ f_{\alpha}(z_{\alpha})dz_{\alpha} = f_{\beta}(z_{\beta})dz_{\beta}\text{ on }\varphi_{\alpha}(U_{\alpha})\cap\varphi_{\beta}(U_{\beta}) $$ where $f_{\alpha},f_{\beta}$ are meromorphic on $U_{\alpha},U_{\beta}$, respectively, 가 성립해야 한다.

예를 하나 들어보도록 하자. $$ f(z) = \frac{z}{(z-1)(z-2)} $$ $f$는 meromorphic on $\mathbb{C}$이다. 이 때의 $\mathbb{C}$는 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$의 open subset으로 이해한다. 그러면 $$ f(z)dz = \frac{z}{(z-1)(z-2)} $$는 meromorphic 1-form on $\mathbb{C}$이 된다. 이제 이를 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$의 meromorphic 1-form $\omega$로 확장해보자.

$\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$를 이해하는 방법으로는 complex plane을 one-point compactification 하는 것뿐만 아니라, 두 개의 complex plane으로 각각 남반구와 북반구를 감싸는 방법이 있다. 즉, $$ \begin{aligned} &U_0\coloneqq\{[x:y]\in\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1\::\:y\neq 0\} \\ &U_1\coloneqq\{[x:y]\in\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1\::\:x\neq 0\} \end{aligned} $$ 로 잡으면 $$ \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1 = U_0\cup U_1 $$이 된다. 더 나아가 각 $\varphi_0:U_0\rightarrow\mathbb{C},\:[x,y]\mapsto x/y$와 $\varphi_1:U_1\rightarrow\mathbb{C},\:[x,y]\mapsto y/x$는 homeomorphism이기 때문에, $U_0$와 $U_1$ 각각에서 local coordinate을 고려할 수 있게 된다. 이 때, $U_0$ 위의 점 $[z:1]$과 $U_1$ 위의 점 $[1:w]$는 $zw=1$일 때 동일시 할 수 있기 때문에, 겹치는 부분에서의 대응관계는 $w=\frac{1}{z}$로 주는 것이 타당하다. 이러한 관점에서 local coordinates $(U_0,z)$와 $(U_1,w)$로 이해해보자.

그러면 다시 위의 예에서 $f(z)dz$를 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ 위에서의 meromorphic 1-form으로 확장을 하는 것을 생각해보면, 이미 $(U_0, z)$에서는 표현이 되어있으니 $(U_1,w)$에서만 표현이 가능하면 되겠다. 그런데 지금은 $\omega$로 확장하기 위해 새로운 local coordinate을 꺼내온 것 같지만, 사실은 처음부터 주어졌다고 생각하고 겹치는 부분에서는 $w=\frac{1}{z}$과 같은 coordinate change를 한다고 하면 그만인 것이다. 이러한 관점에서 보면 결국 우리의 $\omega$는 아래의 꼴을 만족해야 한다. $$ \begin{aligned} &\omega|_{U_0} = f(z)dz = \frac{zdz}{(z-1)(z-2)} \\ &\omega|_{U_1} = g(w)dw \end{aligned} $$ 이 때의 $g(w)$는 아래와 같이 계산이 가능하다. $$ f(z)dz = f\bigg(\frac{1}{w}\bigg)d\bigg(\frac{1}{w}\bigg)=-\frac{dw}{w(w-1)(2w-1)} $$ 따라서 구하고자 하는 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ 위에서의 meromorphic 1-form $\omega$는 $$ \bigg\{ \frac{zdz}{(z-1)(z-2)}, -\frac{dw}{w(w-1)(2w-1)} \bigg\} $$ 가 된다.

이제 다음 얘기를 하기 위해 residue를 상기해보자. $\mathbb{C}$의 open set $U$에 대하여, $z=z_0$에서 pole을 갖는 meromorphic function $f:U\rightarrow\mathbb{C}$의 residue $ \mathrm{Res}_{z=z_0} f(z) $는 $z=z_0$에서의 $f$의 Laurent series 전개에서 $\frac{1}{z-z_0}$의 coefficient로 정의했었다. 이제 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$ 위에서의 meromorphic 1-form $\omega$를 적당한 chart $(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다. $$ \omega = f_{\alpha}(z)dz $$ 이 때, $f_{\alpha}$는 meromorphic function이므로 $p\in U_{\alpha}$에 대하여 $z(p)=z_0$가 $f_{\alpha}$의 pole이라면 $ \mathrm{Res}_{z=z_0} f_{\alpha}(z) $까지는 위처럼 정의할 수 있다.

그럼 이러한 $p$점에서의 $\omega$의 residue는 어떻게 정의해야 하는가? meromorphic function에서 1-form을 정의했던 것처럼, $$ \mathrm{Res}(\omega;\:p)\coloneqq \mathrm{Res}_{z=z_0} f_{\alpha}(z) $$로 정의하면 안되는가? 이 값은 chart의 dependency가 있는 표현이기 때문에, overlap 되는 부분에서 coordinate change가 일어나도 항상 residue는 같은지 확인해주어야 well-definedness가 성립한다는 걸 알 수 있다. 강의 영상에서는 small o notation을 통해서 증명하였는데, 의미는 이해했으나 과정상 오류가 있는 듯 하다. 고쳐보려고 했으나 small o의 미묘한 부분들이 있어 우선은 해당 부분의 증명은 스킵하고 넘어가도록 하겠다.

이를 이용하면 다음과 같은 proposition을 보일 수 있다. $M$을 cpt RS라고 하고 $\omega$를 meromorphic 1-form on $M$이라고 하면, $$ \sum_p \mathrm{Res}(\omega\:;\:p) = 0 $$이 된다. 증명은 Stokes' theorem을 이용하여 보일 수 있다. 여기서 증명을 적지는 않겠다.

이제, Riemann-Roch theorem에서 말했던 집합들의 특정 조건들을 알아볼 차례다. $M$이 Riemann surface이고 $f\in m(M)$, $p\in M$일 때, $p$점에서의 $f$의 index $v_p(f)$를 다음과 같이 정의한다.: $p$ 근방에서 $z(p)=0$이 되게끔 하는 local coordinate $(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})$를 하나 고른다. 만약 $f$가 $z=0$에서 holomorphic이라면 $$ f(z) = z^m h(z) $$ where $h$ is holomorphic at $z=0$ with $h(0)\neq 0$ for some $m\in\mathbb{Z}$ 라 쓸 수 있는데, 이 때 $$ v_p(f) \coloneqq m\ge 0 $$으로 정의한다. 비슷하게 $f$가 $z=0$을 pole로써 가진다면, $$ f(z) = \frac{h(z)}{z^m} $$ where $h$ is holomorphic at $z=0$ with $h(0)\neq 0$ for some $m\in\mathbb{Z}$라 쓸 수 있고, 이 때 $$ v_p(f) \coloneqq -m \le 0 $$으로 정의한다. local coordinates가 overlap 되는 구간에서 체크해보면 coordinate change가 일어나도 $m$의 값은 변하지 않음을 알 수 있다고 한다. 따라서 $v_p(f)$는 well-defined 되어있다.

이제 $M$에 cpt 조건을 추가로 건다. 그러면 $f\in m(M)\setminus \{0\}$에 대하여, $$ \sum_p v_p(f) = 0 $$이 된다고 한다. integer value인 index 값이 모두 더해서 0이 된다는 정보는 꽤 algebraic 해보인다. 실제로 해당 대상은 어떤 map의 kernel로도 볼 수 있다고 한다. 증명은 방금 위에서 언급한 residue에 관한 proposition을 이용한다. 실제로 meromorphic 1-form $\omega$를 $$ \omega = \frac{df}{f} $$로 정의한다. 그러면 $f$는 $z=0$에서 zero나 pole을 가지게 될 것이다. 만약 zero로 가진다면, $f(z) = z^m h(z)$ where $h$ is holomorphic at $z=0$ for some $m\in\mathbb{Z}$라 쓸 수 있고, 이를 이용하여 실제로 계산해보면 $$ \frac{df}{f} = \frac{mz^{m-1}hdz + z^mdh}{z^mh} = \frac{m}{z}dz + \frac{dh}{h} $$이므로 $$ \mathrm{Res}\bigg(\frac{df}{f}\bigg) = m $$이 된다. 비슷하게 pole로 가진다고 해도 $f(z) = h(z) / z^m$으로 쓰고 계산하면 $$ \mathrm{Res}\bigg(\frac{df}{f}\bigg) = -m $$을 얻는다. 한편, complex manifold 위의 임의의 점 $p$마다 $z(p)=0$이게끔 하는 local coordinate을 잡으면, 위 residue와 관련한 proposition과 더불어서 아래의 결과를 얻는다. $$ \sum_p v_p(f) = \sum_p \mathrm{Res}\bigg(\frac{df}{f}\:;\:p\bigg) = 0. $$ ($z(p)=0$인 local coordinate은 실제로 항상 잡을 수 있다. 임의의 chart를 $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$라고 하면, 새로운 chart를 $\psi:U\rightarrow\mathbb{C}$ defined by $\psi(x)\coloneqq\varphi(x)-\varphi(p)$로 주면 된다.)

index에 대해서 다룬 후 드디어 divisor로 넘어간다. RS 각 위의 점마다 index라고 하는 integer value를 assign 해놨기 때문에, 이를 활용할 수 있는 setting의 일환으로 divisor를 다음과 같이 정의한다.: $$ D=\sum_{p\in M} n_p\cdot p $$ where $n_p\in\mathbb{Z}$ and $n_p=0$ except finite. 예를 들면 divisor는 $D=p,\:p-q,\:2p-4q+r$등의 formal sum이 된다. cpt RS에서 유의미한 summand가 유한개이길 바라기 때문에 유한개를 제외한 나머지 term은 vanishing되게끔 한다고 한다. 나중에 이를 일반화하면 각 점마다 prime ideal로 볼 수 있는 듯 하다. 어쨌든 이러한 divisor의 모임 $\tilde D$는 자연스럽게 abelian group structure를 갖는다. 이로부터 함수 $\deg:\tilde D\rightarrow\mathbb{Z}$를 $D=\sum_p\:n_p\cdot p\mapsto \sum_p n_p$로 정의해주면, 이는 group homomorphism이 된다.

더 나아가 $M$이 cpt RS이고 $f\in m(M)$일 때, $f$의 principal divisor $(f)$는 다음과 같이 정의된다.: $$ (f) \coloneqq \sum_{p\in M} v_p(f)\cdot p. $$ 그러면 위 index의 sum이 $0$이 된다는 statement는 degree map의 언어로 다시 말하면 $$ (f)\in\ker\deg,\quad\forall f\in m(M) $$이라 할 수 있다. 또, $P=\{(f)\::\:f\in m(M)\setminus\{\text{consts}\} \}$라고 하면 $$ (f)+(g)=(f\cdot g),\quad -(f)=\bigg(\frac{1}{f}\bigg) $$이므로 이로부터 $P$가 $\tilde D$의 subgroup이 됨을 안다. 이 $P$를 이용하여 $\tilde D$에 equivalence relation $\sim$를 다음과 같이 줄 수 있다. $$ D_1\sim D_2\:(\text{linearly equivalent})\Longleftrightarrow D_1-D_2\in P $$ 이러한 relation은 $P$에 의한 coset을 만들어주는 것과 같으므로, 정확히 $\tilde D$ 상에서 $P$만큼을 같은 것으로 보는 quotient group $D\coloneqq \tilde D/\sim$을 만들어줄 수 있다. 그러면 위에서 정의했던 degree map을 이 quotient group으로 induce해주면 $\deg:D\rightarrow\mathbb{Z}$ 또한 잘 정의가 된다. ($P$가 $\ker\deg$에 포함되기 때문) 앞으로는 degree map이라고 하면 이 quotient group에서 출발하는 map을 지칭하는 것으로 한다. (즉, principal divisor만큼의 차이는 고려하지 않기로 한다.)

이제 다시 초반부에 언급했던 집합을 다시 가져와보자. divisor $D$에 대하여 $$ \mathcal{L}(D) = \{ f\in m(M)\::\: (f)+D\ge 0\}. $$ 이제는 좀 읽힌다. 즉, cpt RS 위에서는 유한개의 pole 및 zero를 갖게 되고, 따라서 이 위에서 정의된 principal divisor는 문제없이 잘 계산이 된다. $D$ 또한 유한개를 제외한 나머지에서는 coefficient가 $0$인 상황이다. 이를 종합하여 만들어진 $(f)+D\ge 0$이라는 것은 각 $p$마다 대응되는 coefficient가 nonnegative라는 뜻이라고 한다. 이러한 divisor의 condition을 effective divisor의 condition이라고 한다.

이제 나머지 반쪽, meromorphic 1-form에 대한 divisor를 정의해보자. $M$이 cpt RS이고 $\omega$가 meromorphic 1-form on $M$일 때, $$ (\omega) \coloneqq \sum_{p\in M} v_p(f_{\alpha})\cdot p $$를 $\omega$의 canonical divisor라 부른다. 이 때, $f_{\alpha}$는 local coordinate을 지칭하는 표현이다. 만약 $\omega_1$과 $\omega_2$가 각각 meromorphic 1-form이라면, 같은 local coordinate을 택했을 때, $\omega_1=fdz$, $\omega_2=gdz$로 쓸 수 있을 것이다. 그러면 사실 $\omega_1/\omega_2$는 $dz$ part가 사라지면서 meromorphic function이 된다. 그런데 $\omega_1 = \omega_2\cdot \omega_1/\omega_2$이므로 $$ (\omega_1)=(\omega_2)+\bigg(\frac{\omega_1}{\omega_2}\bigg) $$가 됨을 알고, 위의 equiv. relation의 언어로는 $$ (\omega_1)\sim(\omega_2) $$가 된다. 따라서 canonical divisor는 equiv. class로써 같은 것을 의미한다. $$ [(\omega_1)]=[(\omega_2)]=: K$$ principal divisor의 경우 quotient group 내에서는 어차피 모두 zero이므로 zero로써 linearly equivalent하다 할 수 있지만, canonical divisor의 경우는 vanishing되지 않더라도 equiv. class로써 같음을 보장할 수 있다는 차이점이 있다.

다시 Riemann-Roch theorem의 나머지 반쪽을 가져와보자. divisor $D$에 대하여 $$ \mathcal{I}(D)\coloneqq\{\omega\::\:(\omega)-D\ge 0\} $$이 있었다. 해당 집합의 조건에 쓰여 있었던 것은 다름 아닌 canonical divisor였던 것이다. 이렇게 잡은 $\mathcal{L}(D)$와 $\mathcal{I}(D)$는 각각 $\mathbb{C}$-vector space가 되므로 dimension을 정의할 수 있고, 그것이 바로 Riemann-Roch theorem의 식의 좌변이 된다.

이제 마지막으로 cpt RS에 대한 Riemann-Roch theorem의 geometric view를 보도록 하자. (여기야 말로 완전 외계어 파티라 일단 필사를 해보았다.) $M$을 genus $g$인 cpt RS라고 하고 $D$를 $\deg D= d$인 effective divisor라고 하자. (즉, 모든 coefficient가 nonnegative) 그러면 canonical divisor $K$(아까 equiv. class로 나왔던 것)가 define하고 있는 $0$-th sheaf cohomology에 대해서 vector space로써 dual을 취해준 것을 integer lattice에 대한 first cohomology로 quotient 시켜준 것을 Jacobi variety라 부른다. $$ J(M) \coloneqq H^0(M,K)^*/H_1(M,\mathbb{Z}) $$ (엄청 복잡해 보이는데 사실은 torus를 흉내낸 것이라고 한다.) 더 나아가 $M$을 $d$번 symmetric product 한 것을 $M^{(d)}$라 쓰면 Abel-Jacobi map $\pi : M^{(d)}\rightarrow J(M)$을 정의할 수 있다고 한다. 이 때 이 map은 holomorphic이라고 한다. (mapping이 구체적으로 어떤지는 모르겠다.) Abel's theorem에 의하면 fiber (one point의 inverse image) 중에서 $D$를 포함하고 있는 것은 언제나 $D$에 의하여 만들어지는 $0$번째 sheaf cohomology의 projectivization이라고 한다. 그리고 이건 사실은 linear series $|D|$라고 한다.

조금만 더 나아가보자. $|D|$는 projectivization이기 때문에 dimension을 $1$ 깎는다고 한다. 즉, $$ \dim (H^0(M,D)) = 1 + \dim |D| $$가 되고, 이 때 fiber의 입장에서 보면 fiber의 dimension은 정의역의 dimension에서 공역의 dimension을 뺀 것보다 커야한다고 한다. 따라서 아래의 부등식이 성립해야 한다. $$ \dim |D| \ge \dim M^{(d)} - \dim J(M) = d- g $$ 그런데 $\dim (H^0(M,D))$는 $\mathcal{L}(D)$의 dimension이므로 위 식을 모두 종합하면, $$ \dim (H^0(M,D)) \ge 1 - g + d $$를 얻게 되고, 이것이 바로 Riemann-Roch theorem의 우변을 말해준다. 여기서는 $\mathcal{I}(D)$가 없는데, 그래서 이를 asymtotic Riemann-Roch라고 부른다고 한다.

아아~~ 외계어 파티인데 알고 싶다! 이렇게 첫 글을 마친다.

아바타2 남양주 현대 프리미엄 아울렛 스페이스원 후기 (스포 X)

신라면순한맛 — Sun, 8 Jan 2023 23:06:21 +0900

아바타2 스포없음!

아바타2를 보고 왔습니다.

아바타2 스펙

아바타2는 현존하는 3D 영화 기술의 집합체라는 말이 있을 정도로 영상미가 좋기로 유명하죠. 그래서 열심히 알아보니 모든 영화관이 영화 제작자의 의도를 다 반영할 수 있는건 아닌 것을 알았습니다. 더 디테일하게 있을 수도 있겠지만, 흔히 거론되는 스펙은 아래와 같습니다.

4K
HDR
HFR

4K는 해상도를 나타내는 단어로, 모니터 해상도를 떠올리셔도 됩니다. 같은 화면 사이즈라면 픽셀 수가 많은 것이 대상을 더 디테일하게 표현할 수 있겠죠. 반대로는 모자이크를 떠올리시면 됩니다. 같은 화면 사이즈여도 픽셀 수가 현저히 적으면 그것이 바로 모자이크죠.

HDR은 High Dynamic Range의 약자로, 색의 표현 범위가 더 넓어져서 어두운 것은 더 어둡게, 밝은 것은 더 밝게 만들어주는 기술입니다.

HFR은 High Frame Rate의 약자로, 1초에 많은 수의 프레임을 지원하는 기술입니다. 예를 들어, 1초에 30장인 경우가 있고 60장인 경우가 있으면, 60장인 경우가 훨씬 더 부드럽게 보일 것입니다. 액션신이 있는 경우 동작이 빠르기 때문에, 이 때 HFR이 적용된다면 동작을 놓치지 않고 볼 수 있겠죠. 그렇다고 무조건 HFR이 높다고 좋은 것은 아닌데요. 너무 높으면 영화같은 느낌을 받을 수 없게 됩니다.

아바타2는 4K HDR HFR을 지원하는 영화이고, 특히 HFR은 액션신에서만 적용되었다고 합니다.

그렇다면 이를 지원하는 영화관은?

아바타2는 2D뿐만 아니라 3D, 4D로도 개봉 된 영화지만, 많은 경우에 3D로 보는 것 같습니다. 그리고 보통 거론되는 영화관 타입은 IMAX와 돌비시네마로 나뉘는데요. 저는 이 부분에 대해선 아래의 유튜브 영상으로 공부했습니다.

요약하자면, 이왕 볼거면 돌비로 보고, 그 중에서도 서울에 산다면 제일 가까운 남양주 현대 프리미엄 아울렛 메가박스로 가라! 라는 것입니다.

그래서 실제로 갔다!

지난주 금요일인 1월 6일, 실제로 남양주 현대 프리미엄 아울렛을 다녀왔습니다. 이왕이면 가운데로 보기 위해 몇날며칠을 티켓팅하는데 열을 올렸고, 드디어! 티켓팅에 성공할 수 있었습니다. 제가 본 자리는 K열 13번 자리였습니다.

아주 좋은 자리

일단 저는 서울에 사는 뚜벅이이기 때문에 지하철을 타고 갔어야 했는데요. 조조를 보기 위해 지하철 첫 차를 타고 1시간반여를 걸려 도농역에 도착하였고, 도농역부터 메가박스까지는 역 바로 앞에 있는 버스를 타고 이동하였습니다.

남양주 현대 프리미엄 아울렛 주차장. 아직 해가 안떴다.

버스 정류장에서 내린 후, 꽤 오랜 시간을 걸려 아울렛 4번 게이트로 갔습니다. 새벽에는 아울렛이 열지 않기 때문에, 메가박스로 가는 문으로 가야하는데, 그 문이 4번 게이트입니다. 버스정류장으로부터 거리가 머니 시간을 잘 체크해야 합니다. (처음부터 4번 게이트 근처로 가는 버스를 탔으면 좀 나았을지도 모르겠네요.) 4번 게이트에서 메가박스로 올라가는 것은 오전 7시 30분부터 가능하니 참고하세요.

버스 정류장으로부터 4번 게이트까지는 꽤 걸린다.

4번 게이트

4번 게이트를 통해 들어가면 엘레베이터가 나오는데, 3층으로 가면 됩니다.

A관 정보

우여곡절 끝에 도착한 메가박스! 제가 문을 열고 들어갔기 때문에 아무도 없었습니다. 하지만 얼마 지나지 않아 사람으로 꽉 찼답니다.

메가박스 내부 (3층)

대기할 수 있는 공간은 3층뿐이기 때문에, 상영시간 10분 전까지는 3층에서 대기하다가 상영관으로 올라가면 됩니다. 돌비시네마는 5층에 위치하고 있었습니다.

영롱한 돌비시네마 상영관 입구

내부로 들어오니 더 환상적(?)이었습니다. 문제는 너무 어두워서 다칠 수도 있다는 점입니다. 언제나 조심조심.

돌비시네마 화면. 너무 어두움.

3D 안경과 함께

저는 안경을 끼는데, 3D 안경을 껴도 처음에는 불편하지 않았습니다만, 3시간 이상을 쓰고 있으려니 귀가 아프더군요.

돌비시네마 천장

돌비시네마 영화관 기타정보

사진으로 남기지는 못했지만, 돌비시네마의 의자는 고정형 의자이고 푹신한 편이었습니다. 다만 옆의 의자들과 일체형이기 때문에 옆에서 흔들면 같이 흔들린다는 단점이 있습니다.
그리고 용산 IMAX와 사운드도 돌비앳트모스 이기 때문에, 소리가 굉장히 입체적입니다. 우퍼가 굉장해서 의자가 떨릴 정도니까요. 그래서 4D 따로 볼 필요 없네~ 하고 생각할 정도였답니다. (그렇다고 귀가 아프거나 하지는 않았습니다.)
돌비시네마 상영관의 경우 화장실과 굉장히 멀리 떨어져 있습니다. 중간에 화장실을 가면 매우 손해이니, 영화 상영전에 미리 용무를 마쳐야 손해를 안볼 수 있습니다.

스포 없는 아바타2 후기

아침부터 고생해 간 보람이 있었습니다. 영화 플롯 자체는 클리셰였지만, 영화 제작자가 전달하고자 하는 영상미는 정말이지 최고였습니다. 자막이 둥둥 떠있는 것도 신기하고, 물을 표현하는 방식이라든지, 바닷속 생물들의 몸짓 등 보는 내내 너무나 황홀하였습니다. 아바타2를 보고자 하신다면 이왕이면 최고 스펙을 자랑하는 남양주 프리미엄 아울렛 메가박스 돌비시네마에서 보시기를 적극 권장드립니다!

티스토리 장애 복구는 언제쯤...

신라면순한맛 — Wed, 19 Oct 2022 10:06:39 +0900

https://n.news.naver.com/article/001/0013513792?cds=news_my

카카오서비스, '먹통 사태' 나흘만에 완전 정상화될 듯

데이터센터 전력 공급 완료로 서버 3만2천대 중 1천대 남기고 모두 복구 오전 11시 남궁훈·홍은택 대표 기자회견 장기간 장애를 일으켰던 카카오 주요 서비스들이 19일 판교 SK 주식회사 C&C 데이

n.news.naver.com

거의 다 복구되었다는데, 티스토리는 아직인가봅니다. 계속 자동으로 모바일 버전인 /m으로 연결되는데, 이러면 latex rendering이 되지 않고 페이지도 모바일에 맞춰져있는 것이 나오기 때문에 어색하죠.

어서 완전 정상화가 되어 다시 글을 쓸 수 있으면 좋겠네요.

[Pandas] 특정 list내에 있는 것들로만 추출하려면? isin!

신라면순한맛 — Fri, 14 Oct 2022 21:36:30 +0900

이번 포스팅에서는 pandas dataframe 내부 method인 isin을 알아보도록 하겠습니다.

다음과 같은 dataframe이 있다고 해보겠습니다.

df = pd.DataFrame(np.arange(10, 30).reshape(10, 2), columns=['a', 'b'])
print(df)

이 dataframe의 a열에서 [20, 22, 24]를 포함하는 행만 추출하고 싶다면 어떻게 해야할까요?

처음에는 아래와 같이 나이브하게 접근했더니 다음과 같은 에러가 떴습니다.

target_list = [20, 22, 24]
print(df[df['a'] in target_list])

ValueError: The truth value of a Series is ambiguous. Use a.empty, a.bool(), a.item(), a.any() or a.all().

그래서 이를 해결하기 위해 시도했던 방법 중 하나가 바로 apply였습니다.

target_list = [20, 22, 24]
print(df[df['a'].apply(lambda x: x in target_list)])

하지만 이는 dataframe이 어마어마하게 크다면 거의 멈추다시피 하며 작동하지 않습니다. 3천만줄, 4천만줄이나 가지고 있는 dataframe에서하는 하세월이죠. 이 상황에서 해결하는 방법 중 하나로 pandas를 parallel하게 processing해주는 dask, vaex, modin 등이 있으나 저는 왜인지 작동을 하지 않아서 쓰지 못했습니다. 그러던 도중 현재 task에 맞는 pandas 내부 library가 있었으니! 그것이 바로 isin입니다.

target_list = [20, 22, 24]
print(df[df['a'].isin(target_list)])

이렇게 하니 apply를 쓰던 것보다 월등히 빨라지는 것을 확인하였습니다. 시간비교는 할 수 없었던 것이, apply를 적용한 것은 거의 멈추다시피 했기에 중간에 끊었기 때문입니다... ㅎㅎ

apply는 각 row마다 특정 함수를 적용시키는건데, 이걸 한줄한줄 적용하다보니 당연히 오래 걸릴 수 밖에 없었습니다. 지금과 같이 특정 list에 있는 row만 추출하고 싶은 상황이라면, 굳이 apply를 쓸 것이 아니라 isin을 쓰면 손쉽게 해결이 가능합니다.

이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오늘의 야근

신라면순한맛 — Wed, 12 Oct 2022 23:59:14 +0900

신림선은 생각보다 늦게까지 운행하는 것 같다. 이시간까지 야근한 것은 오랜만인데, 신림선 막차를 조회해보니 12:44 샛강 출발이다.

비록 야근을 오래도록 했지만, 오늘은 혼자하지 않고 같이 일하며 야근한거라 힘들지만 재밌게 할 수 있었다. 이전 회사의 추억을 회고해보면 그때도 힘들었지만 버틸 수 있었던건 같이 고생하는 사람들이 있었기 때문이었던 것 같다.

금융 사이드에 들어와서 대부분 개인주의적이고 그래서 고립되는 느낌을 많이 받았었는데, 오늘 오랜만에 그 느낌이 해소됐던 것 같아서 뿌듯했다.

앞으로도 험난하겠지만 잘 견대낼 수 있길...